Solución

Observa que DD puede verse como una región Tipo I o Tipo II, como se muestra en la figura 5.18. Sin embargo, en este caso, describir DD como Tipo I es más complicado que describirlo como Tipo II. Por lo tanto, usamos DD como una región Tipo II para la integración.

Figura 5.18. La región DD en este ejemplo puede ser (a) Tipo I o (b) Tipo II

Al elegir este orden de integración, tenemos

∬D(3x2+y2)dA=∫y=−2y=3∫x=y2−3x=y+3(3x2+y2)dxdy      (Integral iterada, regioˊn tipo I)=∫y=−2y=3(3x2+y2)∣y2−3y+3dy   (Integra con respecto a x)=∫y=−2y=3((y+3)3+(y+3)y2−(y2−3)3−(y2−3)y2)dy=∫−23(54+27y−12y2+2y3+8y4−y6)dy        (Integra con respecto a y)=[54y+27y22−4y3+y42+8y55−y77]∣−23=23757\begin{aligned} \iint_D\big(3x^2 + y^2\big)dA &= \int_{y=-2}^{y=3}\int_{x=y^2-3}^{x=y+3}\big(3x^2 + y^2\big)dxdy\;\;\;\text{(Integral iterada, región tipo I)}\\ &= \int_{y=-2}^{y=3}\big(3x^2 + y^2\big)\bigg|_{y^2-3}^{y+3} dy\,\,\,\text{(Integra con respecto a x)}\\ &= \int_{y=-2}^{y=3}\bigg((y + 3)^3 + (y + 3)y^2 − (y^2 − 3)^3 − (y^2 − 3)y^2\bigg)dy\\ &= \int_{-2}^3\big(54 + 27y − 12y^2 + 2y^3 + 8y^4 − y^6\big)dy\;\;\;\;\text{(Integra con respecto a y)}\\ &= \bigg[54y + \frac{27y^2}{2} -4y^3 + \frac{y^4}{2} + \frac{8y^5}{5} - \frac{y^7}{7}\bigg]\bigg|_{-2}^3\\ &= \frac{2375}{7} \end{aligned}