Solución

Primero construye la región DD como una región Tipo I (Figura 5.16). Aquí D={(x,y)0x2,12xy1D = \lbrace (x, y) | 0 \le x \le 2, \frac12x \le y \le 1. Entonces tenemos

Dx2exydAx=0x=2y=1/2xy=1x2exydydx\iint_D x^2e^{xy}dA \int_{x=0}^{x=2}\int_{y=1/2x}^{y=1} x^2e^{xy}dydx

Figura 5.16. Podemos expresar la región DD como una región de Tipo I e integrar de y=12xy = \frac12x a y=1y = 1, entre las líneas x=0x = 0 y x=2x = 2.

Por lo tanto, tenemos

x=0x=2y=12xy=1x2exydydx=x=0x=2[y=12xy=1x2exydy]dx        Integral iterada para una regioˊn de Tipo I.=x=0x=2[x2exyx]y=1/2xy=1dx            Integra con respecto a y usando la sustitucioˊn de u                                                                                              con u=xy donde x se mantiene constante=x=0x=2[xexxex2/2]dx              Integra con respecto a x usando la sustitucioˊn de u                                                                                            con u=12x2.=[xexexe12x2]x=0x=2=2\begin{aligned} \int_{x=0}^{x=2}\int_{y=\frac12x}^{y=1} x^2e^{xy}dydx &= \int_{x=0}^{x=2}\bigg[\int_{y=\frac12x}^{y=1}x^2e^{xy}dy\bigg]dx \;\;\;\; \text{Integral iterada para una región de Tipo I.}\\ &= \int_{x=0}^{x=2}\bigg[x^2\frac{e^{xy}}{x}\bigg]\bigg|_{y=1/2x}^{y=1} dx \;\;\;\;\;\; \text{Integra con respecto a $y$ usando la sustitución de $u$}\\ &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{con $u = xy$ donde $x$ se mantiene constante}\\ &= \int_{x=0}^{x=2}\bigg[xe^x - xe^{x^2/2}\big]dx \;\;\;\;\;\;\;\text{Integra con respecto a $x$ usando la sustitución de $u$}\\ & \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \text{con $u = \frac12x^2$.}\\ &= \bigg[xe^x - e^x - e^{\frac12x^2}\bigg]\bigg|_{x=0}^{x=2} = 2 \end{aligned}