Solución

  1. Como podemos ver, la función z=f(x,y)=3x2−yz = f(x,y)=3x^2-y está encima del plano. Para encontrar el volumen de SS, necesitamos dividir la región RR en pequeños rectángulos RijR_{ij}, cada uno con area ΔA\Delta A y con lados Δx\Delta x y Δy\Delta y, y elige (xij∗,yij∗)(x_{ij}^*, y_{ij}^*) como puntos de muestra en cada RijR_{ij}. Por lo tanto, una integral doble se configura como
    V=∬R(3x2−y)ΔA=lim⁡m,n→∞∑i=1m∑j=1n[2(xij∗)2−yij∗]ΔAV = \iint_R (3x^2-y)\Delta A = \lim\limits_{m,n \to \infin}\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n\bigg[2\big(x_{ij}^*\big)^2 - y_{ij}^*\bigg]\Delta A
  2. Aproximando el volumen con signo usando una suma de Riemann con m=n=2m = n = 2 tenemos ΔA=ΔxΔy=1×1=1\Delta A = \Delta x\Delta y = 1 \times 1 = 1. Además, los puntos de muestra son (1,1),(2,1),(1,2)(1, 1), (2, 1), (1, 2), y (2,2)(2, 2) como se muestra en la siguiente figura.

    Figura 5.6. Subrectangulos para la región rectangular R=[0,2]×[0,2]R = [0, 2] \times [0, 2].

    Por lo tanto, V=∑i=12∑j=12f((xij∗,yij∗))ΔA=∑i=12(f(xi1∗,yi1∗)+f(xi2∗,yi2∗))ΔA=f(x11∗,y11∗)ΔA+f(x12∗,y12∗)ΔA+f(x22∗,y22∗)ΔA=f(1,1)(1)+f(2,1)(1)+f(1,2)(1)+f(2,2)(1)=(3−1)(1)+(12−1)(1)+(3−2)(1)+(12−2)(1)=2+11+1+10=24\begin{aligned} V &= \sum_{i=1}^2\sum_{j=1}^2 f((x_{ij}^*, y_{ij}^*))\Delta A\\ &= \sum_{i=1}^2 (f(x_{i1}^*, y_{i1}^*) + f(x_{i2}^*, y_{i2}^*))\Delta A\\ &= f(x_{11}^*, y_{11}^*)\Delta A + f(x_{12}^*, y_{12}^*)\Delta A + f(x_{22}^*, y_{22}^*)\Delta A\\ &= f(1, 1)(1) + f(2, 1)(1) + f(1, 2)(1) + f(2, 2)(1)\\ &= (3 − 1)(1) + (12 − 1)(1) + (3 − 2)(1) + (12 − 2)(1)\\ &= 2 + 11 + 1 + 10 = 24 \end{aligned}
  3. Aproximando el volumen con signo usando una suma de Riemann con m=n=2m = n = 2, tenemos ΔA=ΔxΔy=1×1=1\Delta A = \Delta x \Delta y= 1\times 1 = 1. En este caso, los puntos de muestra son (1/2,1/2),(3/2,1/2),(1/2,3/2)(1/2, 1/2), (3/2, 1/2), (1/2, 3/2) y (3/2,3/2)(3/2, 3/2).

    Por lo tanto
    V=∑i=12∑j=12f((xij∗,yij∗))ΔA=f(x11∗,y11∗)ΔA+f(x12∗,y12∗)ΔA+f(x22∗,y22∗)ΔA=f(1/2,1/2)(1)+f(3/2,1/2)(1)+f(1/2,3/2)(1)+f(3/2,3/2)(1)=(34−14)(1)+(274−12)(1)+(34−32)(1)+(274−32)(1)=24+254+(−34)+214=454=11\begin{aligned} V &= \sum_{i=1}^2\sum_{j=1}^2 f((x_{ij}^*, y_{ij}^*))\Delta A\\ &= f(x_{11}^*, y_{11}^*)\Delta A + f(x_{12}^*, y_{12}^*)\Delta A + f(x_{22}^*, y_{22}^*)\Delta A\\ &= f(1/2, 1/2)(1) + f(3/2, 1/2)(1) + f(1/2, 3/2)(1) + f(3/2, 3/2)(1)\\ &= \bigg(\frac34 - \frac14\bigg)(1) + \bigg(\frac{27}{4} - \frac12\bigg)(1) + \bigg(\frac34 - \frac32\bigg)(1) + \bigg(\frac{27}{4} - \frac32\bigg)(1)\\ &= \frac24 + \frac{25}{4} + \bigg(-\frac34\bigg) + \frac{21}{4} = \frac{45}{4} = 11 \end{aligned} Análisis

    Ten en cuenta que las respuestas aproximadas difieren debido a las opciones de los puntos de muestra. En cualquier caso, estamos introduciendo algún error porque estamos usando solo unos pocos puntos de muestra. Por lo tanto, debemos investigar cómo podemos lograr una respuesta precisa.