Solución

Sigamos la estrategia de resolución de problemas:

  1. La función de optimización es f(x,y,z)=x2+y2+z2f( x , y, z) = x^2 + y^2 + z^2. Para determinar las funciones de restricción, primero restamos z2z^2 de ambos lados de la primera restricción, que da x2+y2−z2=0x^2 + y^2 - z^2= 0, entonces g(x,y,z)=x2+y2−z2g( x , y, z) = x^2 + y^2 - z^2. La segunda función de restricción es h(x,y,z)=x+y−z+1h ( x , y, z) = x + y - z+ 1.
  2. Luego calculamos los gradientes de f,gf, g y hh:
    ∇f(x,y,z)=2xi+2yj+2zk∇g(x,y,z)=2xi+2yj−2zk∇h(x,y,z)=i+j−k\begin{aligned} \nabla f(x, y, z) &= 2x\bold{i}+ 2y\bold{j} + 2z\bold{k}\\ \nabla g(x, y, z) &= 2x\bold{i}+ 2y\bold{j} - 2z\bold{k}\\ \nabla h(x, y, z) &= \bold{i}+ \bold{j} - \bold{k}\\ \end{aligned} La ecuacion ∇f(x0,y0,z0)=λ1∇g(x0,y0,z0)+λ2∇h(x0,y0,z0)\nabla f(x_0, y_0, z_0) = \lambda_1\nabla g(x_0, y_0, z_0) + \lambda_2\nabla h(x_0, y_0, z_0) se convierte en:
    2x0i+2y0j+2z0k=λ1(2x0i+2y0j−2z0k)+λ2(i+j−k)2x_0\bold{i} + 2y_0\bold{j} + 2z_0\bold{k} = \lambda_1(2x_0\bold{i} + 2y_0\bold{j} − 2z_0\bold{k}) + \lambda_2(\bold{i} + \bold{j} − \bold{k}) que puede reescribirse como
    2x0i+2y0j+2z0k=(2λ1x0+λ2)i+(2λ1y0+λ2)k+(2λ1z0+λ2)k2x_0\bold{i} + 2y_0\bold{j} + 2z_0\bold{k} = (2\lambda_1 x_0 + \lambda_2)\bold{i} + (2\lambda_1 y_0 + \lambda_2)\bold{k} + (2\lambda_1 z_0 + \lambda_2)\bold{k} A continuación, establecemos los coeficientes de i,j\bold{i}, \bold{j} y k\bold{k} iguales entre sí:
    2x0=2λ1x0+λ22y0=2λ1y0+λ22z0=−2λ1z0−λ2\begin{aligned} 2x_0 &= 2\lambda_1x_0 + \lambda_2\\ 2y_0 &= 2\lambda_1y_0 + \lambda_2\\ 2z_0 &= -2\lambda_1z_0 - \lambda_2 \end{aligned} Las dos ecuaciones que surgen de las restricciones son z02=x02+y02z_0^ 2 = x_0^2 + y_0^2 y x0+y0−z0+1=0x_0 + y_0 - z_0 + 1 = 0. La combinación de estas ecuaciones con las tres ecuaciones anteriores da
    2x0=2λ1x0+λ22y0=2λ1y0+λ22z0=−2λ1z0−λ2z02=x02+y02x0+y0−z0+1=0\begin{aligned} 2x_0 &= 2\lambda_1x_0 + \lambda_2\\ 2y_0 &= 2\lambda_1y_0 + \lambda_2\\ 2z_0 &= -2\lambda_1z_0 - \lambda_2\\ z_0^ 2 &= x_0^2 + y_0^2\\ x_0 + y_0 - z_0 + 1 &= 0 \end{aligned}
  3. Las primeras tres ecuaciones contienen la variable λ2\lambda_2. Resolviendo la tercera ecuación para λ2\lambda_2 y al reemplazar en la primera y segunda ecuación reduce el número de ecuaciones a cuatro:
    2x0=2λ1x0−2λ1z0−2z02y0=2λ1y0−2λ1z0−2z0z02=x02+y02x0+y0−z0+1=0\begin{aligned} 2x_0 &= 2\lambda_1x_0 - 2\lambda_1z_0 - 2z_0\\ 2y_0 &= 2\lambda_1y_0 - 2\lambda_1z_0 - 2z_0\\ z_0^ 2 &= x_0^2 + y_0^2\\ x_0 + y_0 - z_0 + 1 &= 0 \end{aligned} A continuación, resolvemos la primera y segunda ecuación para λ1\lambda_1. La primera ecuación da λ1=x0+z0x0−z0\lambda_1 = \frac{x_0 + z_0}{x_0 − z_0}, la segunda ecuación da $\lambda_1 = \frac{y_0 + z_0}{y_0 − z_0}. Ponemos el lado derecho de cada ecuación igual entre sí y multiplicamos en cruz:
    x0+z0x0−z0=y0+z0y0−z0(x0+z0)(y0−z0)=(x0−z0)(y0+z0)x0y0−x0z0+y0z0−z02=x0y0+x0z0−y0z0−z022y0z0−2x0z0=02z0(y0−x0)=0\begin{aligned} \frac{x_0 + z_0}{x_0 − z_0} &= \frac{y_0 + z_0}{y_0 − z_0}\\ (x_0 + z_0)(y_0 − z_0) &= (x_0 − z_0)(y_0 + z_0)\\ x_0y_0 − x_0z_0 + y_0z_0 − z_0^2 &= x_0y_0 + x_0z_0 − y_0z_0 − z_0^2\\ 2y_0z_0 − 2x_0z_0 &= 0\\ 2z_0(y_0 − x_0) = 0 \end{aligned} Por lo tanto, z0=0z_0 = 0 o y0=x0y_0 = x0. Si z0=0z_0 = 0, entonces la primera restricción se convierte en 0=x02+y020 = x_0^2 + y_0^2. La única solución real para esta ecuación es x0=0x_0 = 0 e y0=0y_0 = 0, que da el triple ordenado (0,0,0)(0,0,0). Este punto no satisface la segunda restricción, por lo que no es una solución.

    A continuación, consideramos y0=x0y_0 = x_0, que reduce el número de ecuaciones a tres:
    y0=x0zo2=xo2+y02x0+y0−z0+1=0\begin{aligned} y_0 &= x_0\\ z_o^2 &= x_o^2 + y_0^2\\ x_0 + y_0 - z_0 + 1 &= 0 \end{aligned} Luego, resolvemos la segunda ecuación para z0z_0, que da z0=2x0+1z_0 = 2x_0 + 1. Luego sustituimos esto en la primera ecuación,
    z02=2x02(2x0+1)2=2x024x02+4x0+1=2x022x02+4x0+1=0\begin{aligned} z_0^2 &= 2x_0^2\\ (2x_0 + 1)^2 = 2x_0^2\\ 4x_0^2 + 4x_0 + 1 &= 2x_0^2\\ 2x_0^2 + 4x_0 + 1 = 0 \end{aligned} y usando la fórmula cuadrática para resolver x0x_0:
    x0=−4±42−4(2)(1)2(2)=−±84=−4±22]4=−1±22x_0 = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(2)(1)}}{2(2)} = \frac{-\pm \sqrt{8}}{4} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{2]}}{4} = -1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2} Recuerda que y0=x0y_0 = x_0, por lo que esto también resuelve para y0y_0. Luego, z0=2x0+1z_0 = 2x_0 + 1, entonces
    z0=2x0+1=2(−1±22)+1=−2+1±2=−1±2z_0 = 2x_0 + 1 = 2\bigg(-1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\bigg) + 1= -2 + 1 \pm \sqrt{2} = -1 \pm \sqrt{2} Por lo tanto, hay dos soluciones de triples ordenadas:
    (−1+22,−1+22,−1+2) y (−1−22,−1−22,−1−2)\bigg(-1 + \frac{\sqrt{2}}{2}, -1 + \frac{\sqrt{2}}{2}, -1 + \sqrt{2}\bigg) \text{ y } \bigg(-1 - \frac{\sqrt{2}}{2}, -1 - \frac{\sqrt{2}}{2}, -1 - \sqrt{2}\bigg)
  4. Sustituimos (−1+22,−1+22,−1+2)\bigg(-1 + \frac{\sqrt{2}}{2}, -1 + \frac{\sqrt{2}}{2}, -1 + \sqrt{2}\bigg) en f(x,y,z)=x2+y2+z2f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2, obteniendo:
    f(−1+22,−1+22,−1+2)=(−1+22)2+(−1+22)2+(−1+2)2=(1−2+12)+(1−2+12)+(−1−22+2)=6−42\begin{aligned} f\bigg(-1 + \frac{\sqrt{2}}{2}, -1 + \frac{\sqrt{2}}{2}, -1 + \sqrt{2}\bigg) &= \bigg(-1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\bigg)^2 + \bigg(-1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\bigg)^2 + \big(-1 + \sqrt{2}\big)^2\\ &= \bigg(1- \sqrt{2} + \frac12\bigg) + \bigg(1- \sqrt{2} + \frac12\bigg) + (-1 -2\sqrt{2} + 2)\\ &= 6 - 4\sqrt{2} \end{aligned} Luego, sustituimos f(−1−22,−1−22,−1−2)f\bigg(-1 - \frac{\sqrt{2}}{2}, -1 - \frac{\sqrt{2}}{2}, -1 - \sqrt{2}\bigg) en f(x,y,z)=x2+y2+z2f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2, obteniendo:
    f(−1−22,−1−22,−1−2)=(−1−22)2+(−1+22)2+(−1−2)2=(1+2+12)+(1+2+12)+(1+22+2)=6+42\begin{aligned} f\bigg(-1 - \frac{\sqrt{2}}{2}, -1 - \frac{\sqrt{2}}{2}, -1 - \sqrt{2}\bigg) &= \bigg(-1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\bigg)^2 + \bigg(-1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\bigg)^2 + \big(-1 - \sqrt{2}\big)^2\\ &= \bigg(1+ \sqrt{2} + \frac12\bigg) + \bigg(1+ \sqrt{2} + \frac12\bigg) + (1 +2\sqrt{2} + 2)\\ &= 6 + 4\sqrt{2} \end{aligned} 6+426 + 4\sqrt{2} es le valor máximo y 6−426 - 4\sqrt{2} es el mínimo valor de f(x,y,zf(x, y, z, sujetos a dos restricciones.