Solución

1. La función de optimización es $f( x , y, z) = x^2 + y^2 + z^2$. Para determinar la función de restricción, restamos $1$ de cada lado de la restricción: $x + y+ z - 1 = 0$ que da la función de restricción como $g( x , y, z) = x + y + z- 1$.
2. A continuación, calculamos $\nabla f(x, y, z)$ y $\nabla g(x, y, z)$ :
   $$\begin{aligned} \nabla f(x, y, z) &= \lang 2x, 2y, 2z\rang\\ \nabla g(x, y, z) &= \lang 1, 1, 1\rang\\ \end{aligned}$$ Esto lleva a las ecuaciones
   $$\begin{aligned} \lang 2x_0, 2y_0, 2z_0\rang &= \lambda\lang 1, 1, 1\rang\\ x_0 + y_0 + z_0 − 1 &= 0 \end{aligned}$$ que puede reescribirse en la siguiente forma:
   $$\begin{aligned} 2x_0 &= \lambda\\ 2y_0 &= \lambda\\ 2z_0 &= \lambda\\ x_0 + y_0 + z_0 − 1 &= 0. \end{aligned}$$
3. Dado que cada una de las primeras tres ecuaciones tiene $\lambda$ en el lado derecho, sabemos que $2x_0 = 2y_0 = 2z_0$ y las tres variables son iguales entre sí. Sustituyendo $y_0 = x_0$ y $z_0 = x_0$ en la última ecuación, obtenemos $3x_0 - 1 = 0$, entonces $x_0 = \frac13$, $y_0 = \frac13$ y $z_0 = \frac13$ que corresponde a un punto crítico en la curva de restricción.
4. Luego, evaluamos $f$ en el punto $\big(\frac13, \frac13, \frac13\big)$
   $$\bigg(\frac13, \frac13, \frac13\bigg) = \bigg(\frac13\bigg)^2 + \bigg(\frac13\bigg)^2 + \bigg(\frac13\bigg)^2 = \frac39 = \frac13$$ Por lo tanto, un extremo de la función es $\frac13$. Para verificar que es un mínimo, elige otros puntos que satisfagan la restricción y calcula $f$ en ese punto. Por ejemplo,
   $$\begin{aligned} f(1, 0, 0) &= 1^2 + 0^2 + 0^2 = 1\\ f(0, -2, 3) &= 0^2 + (-2)^2 + 3^2 = 13 \end{aligned}$$ Ambos valores son mayores que $\frac13$, llevándonos a creer que el extremo es un mínimo.