Solución

Nuevamente, seguimos la estrategia de resolución de problemas:

  1. La función de optimización es f(x,y)=48x+96y−x2−2xy−9y2f( x , y) = 48 x + 96 y - x^2 - 2 x y - 9y^2. Para determinar la función de restricción, primero restamos 216216 de ambos lados de la restricción, luego dividimos ambos lados entre 44, lo que da 5x+y−54=05 x + y- 54 = 0. La función de restricción es igual al lado izquierdo, entonces g(x,y)=5x+y−54g( x , y) = 5 x + y- 54. El problema nos pide que resolvamos el valor máximo de ff, sujeto a esta restricción.
  2. Entonces, calculamos los gradientes de ambos ff y gg:
    ∇f(x,y)=(48−2x−2y)i+(96−2x−18y)j∇g(x,y)=5i+j\begin{aligned} \nabla f(x, y) &= (48 - 2x - 2y)\bold{i} + (96 - 2x - 18y)\bold{j}\\ \nabla g(x, y) &= 5\bold{i} + \bold{j} \end{aligned} La ecuación $\nabla f(x_0, y_0) = \lambda\nabla g(x_0, y_0) se convierte en
    (48−2x0−2y0)i+(96−2x0−18y0)j=λ(5i+j)(48 − 2x_0 − 2y_0)\bold{i} + (96 − 2x_0 − 18y_0)\bold{j} = \lambda (5\bold{i} + \bold{j}) que puede reescribirse como
    (48−2x0−2y0)i+(96−2x0−18y0)j=λ5i+λj(48 − 2x_0 − 2y_0)\bold{i} + (96 − 2x_0 − 18y_0)\bold{j} = \lambda 5\bold{i} + \lambda \bold{j} A continuación, establecemos los coeficientes de i\bold{i} y j\bold{j} iguales entre sí:
    48−2x0−2y0=5λ96−2x0−18y0=λ\begin{aligned} 48 − 2x_0 − 2y_0 &= 5\lambda\\ 96 − 2x_0 − 18y_0 &= \lambda \end{aligned} La ecuacion g(x0,y0)=0g(x_0, y_0) = 0 se convierte 5x0+y0−54=05x_0 + y_0 - 54 = 0. Por lo tanto, el sistema de ecuaciones que necesita ser resuelto es
    48−2x0−2y0=5λ96−2x0−18y0=λ5x0+y0−54=0\begin{aligned} 48 − 2x_0 − 2y_0 &= 5\lambda\\ 96 − 2x_0 − 18y_0 &= \lambda\\ 5x_0 + y_0 - 54 &= 0 \end{aligned}
  3. Usamos el lado izquierdo de la segunda ecuación para reemplazar λ\lambda en la primera ecuación:
    48−2x0−2y0=5(96−2x0−18y0)48−2x0−2y0=480−10x0−90y08x0=432−88y0x0=54−11y:0\begin{aligned} 48 − 2x_0 − 2y_0 &= 5(96 − 2x_0 − 18y_0)\\ 48 − 2x_0 − 2y_0 &= 480 − 10x_0 − 90y_0\\ 8x_0 &= 432 − 88y_0\\ x_0 &= 54 − 11y:0 \end{aligned} Luego sustituimos esto en la tercera ecuación:
    5(54−11y0)+y0−54=0270−55y0+y0=0216−54y0=0y0=4.\begin{aligned} 5(54 − 11y_0) + y_0 − 54 &= 0\\ 270 − 55y_0 + y_0 &= 0\\ 216 − 54y_0 &= 0\\ y_0 &= 4. \end{aligned} Ya que x0=54−11y0x_0 = 54 - 11y_0, entonces x0=10x_0 = 10
  4. Luego sustituimos (10,4)( 10 , 4 ) en f(x,y)=48x+96y−x2−2xy−9y2f( x , y) = 48 x + 96 y - x^2- 2 x y- 9y^2, lo que da
    f(10,4)=48(10)+96(4)−(10)2−2(10)(4)−9(4)2=480+384−100−80−144=540.\begin{aligned} f(10, 4) &= 48(10) + 96(4) − (10)^2 − 2(10)(4) − 9(4)^2\\ &= 480 + 384 − 100 − 80 − 144 = 540. \end{aligned} Por lo tanto, la ganancia máxima que se puede lograr, sujeta a restricciones presupuestarias, es de $540,000\$ 540,000 con un nivel de producción de 10,00010,000 pelotas de golf y 44 horas de publicidad comprada por mes. Revisemos para asegurarnos de que esto sea realmente un máximo. Los puntos finales de la línea que define la restricción son (10.8,0)(10.8,0) y (0,54)(0,54). Vamos a evaluar ff en ambos puntos:
    f(10.8,0)=48(10.8)+96(0)−10.82−2(10.8)(0)−9(02)=401.76f(0,54)=48(0)+96(54)−02−2(0)(54)−9(542)=−21,060.\begin{aligned} f(10.8, 0) &= 48(10.8) + 96(0) − 10.82 − 2(10.8)(0) − 9(0^2) = 401.76\\ f(0, 54) &= 48(0) + 96(54) − 02 − 2(0)(54) − 9(54^2) = −21,060. \end{aligned} El segundo valor representa una pérdida, ya que no se producen pelotas de golf. Ninguno de estos valores supera los 540540, entonces parece que nuestro extremo es un valor máximo de ff.