Solución
Primero, encontramos la magnitud de \bold{v}:
∣ ∣ v ∣ ∣ = ( − 1 ) 2 + ( 2 ) 2 + ( 2 ) 2 = 3 ||\bold{v}|| = \sqrt{(−1)^2 + (2)^2 + (2)^2} = 3 ∣∣ v ∣∣ = ( − 1 ) 2 + ( 2 ) 2 + ( 2 ) 2 = 3 Por lo tanto, v ∣ ∣ v ∣ ∣ = − i + 2 j + 2 k 3 = − 1 3 i + 2 3 j + 2 3 k \frac{\bold{v}}{||\bold{v}||} = \frac{−\bold{i} + 2\bold{j} + 2\bold{k}}{3} = -\frac13\bold{i} + \frac23\bold{j} + \frac23\bold{k} ∣∣ v ∣∣ v = 3 − i + 2 j + 2 k = − 3 1 i + 3 2 j + 3 2 k v \bold{v} v c o s α = − 1 3 , c o s β = 2 3 cos \alpha = -\frac13, cos \beta = \frac23 cos α = − 3 1 , cos β = 3 2 c o s γ = 2 3 cos \gamma = \frac23 cos γ = 3 2 f f f
f x ( x , y , z ) = 10 x − 2 y + 3 z f_x(x, y, z) = 10x-2y+3z f x ( x , y , z ) = 10 x − 2 y + 3 z f y ( x , y , z ) = − 2 x + 2 y − 4 z f_y(x, y, z) = -2x+2y-4z f y ( x , y , z ) = − 2 x + 2 y − 4 z f z ( x , y , z ) = 3 x − 4 y + 2 z f_z(x, y, z) = 3x-4y+2z f z ( x , y , z ) = 3 x − 4 y + 2 z Luego sustitúyalas en la ecuación 4.42:
D u f ( x , y , z ) = f x ( x , y , z ) c o s α + f y ( x , y , z ) c o s β + f z ( x , y , z ) c o s γ = ( 10 x − 2 y + 3 z ) ( − 1 3 ) + ( − 2 x + 2 y − 4 z ) ( 2 3 ) + ( − 4 y + 2 z + 3 x ) ( 2 3 ) = − 10 x 3 + 2 y 3 − 3 z 3 − 4 x 3 + 4 y 3 − 8 z 3 − 8 y 3 + 4 z 3 + 6 x 3 = − 8 x 3 − 2 y 3 − 7 z 3 \begin{aligned}
D_{\bold{u}}f(x, y, z) &= f_x(x, y, z)cos\alpha + f_y(x, y, z)cos\beta + f_z(x, y, z)cos\gamma\\
&= (10x − 2y + 3z)\bigg(-\frac13\bigg) + (−2x + 2y − 4z)\bigg(\frac23\bigg) + (−4y + 2z + 3x)\bigg(\frac23\bigg)\\
&= -\frac{10x}{3} + \frac{2y}{3} - \frac{3z}{3} - \frac{4x}{3} + \frac{4y}{3} - \frac{8z}{3} - \frac{8y}{3} + \frac{4z}{3} + \frac{6x}{3}\\
&= - \frac{8x}{3} - \frac{2y}{3} - \frac{7z}{3}
\end{aligned} D u f ( x , y , z ) = f x ( x , y , z ) cos α + f y ( x , y , z ) cos β + f z ( x , y , z ) cos γ = ( 10 x − 2 y + 3 z ) ( − 3 1 ) + ( − 2 x + 2 y − 4 z ) ( 3 2 ) + ( − 4 y + 2 z + 3 x ) ( 3 2 ) = − 3 10 x + 3 2 y − 3 3 z − 3 4 x + 3 4 y − 3 8 z − 3 8 y + 3 4 z + 3 6 x = − 3 8 x − 3 2 y − 3 7 z Por último, para encontrar D u f ( 1 , − 2 , 3 ) D_\bold{u} f (1, −2, 3) D u f ( 1 , − 2 , 3 ) x = 1 , y = − 2 x = 1, y = −2 x = 1 , y = − 2 z = 3 z = 3 z = 3
D u f ( 1 , − 2 , 3 ) = − 8 ( 1 ) 3 − 2 ( − 2 ) 3 − 7 ( 3 ) 3 = − 8 3 + 4 3 − 21 3 = − 25 3 \begin{aligned}
D_\bold{u} f (1, −2, 3) &= -\frac{8(1)}{3} - \frac{2(-2)}{3} - \frac{7(3)}{3}\\
&= -\frac{8}{3} + \frac{4}{3} - \frac{21}{3}\\
&= -\frac{25}{3}
\end{aligned} D u f ( 1 , − 2 , 3 ) = − 3 8 ( 1 ) − 3 2 ( − 2 ) − 3 7 ( 3 ) = − 3 8 + 3 4 − 3 21 = − 3 25