Solución

Para ambas partes a. y b., primero calculamos las derivadas parciales fx,fyf_x, f_y y fzf_z, luego usamos la ecuación 4.40

  1. fz(x,y,z)=10x−2y+3z,fy(x,y,z)=−2x+2y−4z y fz(x,y,z)=3x−4y+2z, entonces∇f(x,y,z)=fx(x,y,z)i+fy(x,y,z)j+fz(x,y,z)k=(10x−2y+3z)i+(−2x+2y−4z)j+(−4x+3y+2z)k\begin{aligned} f_z(x, y, z) &= 10x − 2y + 3z, f_y(x, y, z) = −2x + 2y − 4z \text{ y } f_z(x, y, z) = 3x − 4y + 2z, \text{ entonces}\\ \nabla f(x, y, z) &= f_x(x, y, z)\bold{i} + f_y(x, y, z)\bold{j} + f_z(x, y, z)\bold{k}\\ &= (10x − 2y + 3z)\bold{i} + (−2x + 2y − 4z)\bold{j} + (−4x + 3y + 2z)\bold{k} \end{aligned}


  2. fx(x,y,z)=−2e−2zcos2xcos2y,fy(x,y,z)=−2e−2zsen2xsen2y y fz(x,y,z)=−2e−2zsen2xcos2y, entonces∇f(x,y,z)=fx(x,y,z)i+fy(x,y,z)j+fz(x,y,z)k=(2e−2zcos2xcos2y)i+(−2e−2z)j+(−2e−2z)k=2e−2z(cos2xcos2yi−sen2xsen2yj−sen2xcos2yk)\begin{aligned} f_x(x, y, z) &= −2e^{−2z}cos 2x cos 2y, f_y(x, y, z) = −2e^{−2z}sen 2x sen 2y \text{ y }\\ f_z(x, y, z) &= −2e^{−2z}sen 2x cos 2y, \text{ entonces}\\ \nabla f(x, y, z) &= f_x(x, y, z)\bold{i} + f_y(x, y, z)\bold{j} + f_z(x, y, z)\bold{k}\\ &= \big(2e^{−2z}cos 2x cos 2y\big)\bold{i} + \big(−2e^{−2z}\big)\bold{j} + \big(−2e^{−2z}\big)\bold{k}\\ &= 2e^{−2z}(cos 2x cos 2y \bold{i} − sen 2x sen 2y \bold{j} − sen 2x cos 2y \bold{k}) \end{aligned}