Solución

Primero, debemos calcular ∇f(x,y)\nabla f (x, y):

fx(x,y)=4x−3y+2 y fy=−3x+16y−4 entonces ∇f(x,y)=(4x−3y+2)i+(−3x+16y−4)jf_x(x, y) = 4x − 3y + 2 \text{ y } f_y = −3x + 16y − 4 \text{ entonces } \nabla f(x, y) = (4x − 3y + 2)\bold{i} + (−3x + 16y − 4)\bold{j}

A continuación, evaluamos ∇f(x,y)\nabla f (x, y) en (−2,1)(−2, 1):

∇f(−2,1)=(4(−2)−3(1)+2)i+(−3(−2)+16(1)−4)j=−9i+18j\nabla f(−2, 1) = \big(4(−2) − 3(1) + 2\big)\bold{i} + \big(−3(−2) + 16(1) − 4\big)\bold{j} = −9\bold{i} + 18\bold{j}

Este vector es ortogonal a la curva en el punto (−2,1)(−2, 1). Podemos obtener un vector tangente invirtiendo los componentes y multiplicando cualquiera de ellos por −1−1. Así, por ejemplo, −18i−9j−18\bold{i} - 9\bold{j} es un vector tangente (ver el siguiente gráfico).

Figura 4.45. Vectores tangentes y normales a 2x2−3xy+8y2+2x−4y+4=182x^2 - 3xy + 8y^2 + 2x - 4y + 4 = 18 en el punto (−2,1)(−2, 1).