Solución

El valor máximo de la derivada direccional ocurre cuando ∇f\nabla f y el vector unitario apuntan en la misma dirección. Por lo tanto, comenzamos calculando ∇(x,y)\nabla (x, y):

fx(x,y)=6x−4y y fy(x,y)=−4x+4y,luego∇f(x,y)=fx(x,y)i+fy(x,y)j=(6x−4y)i+(−4x+4y)j\begin{aligned} f_x(x, y) &= 6x − 4y \text{ y } f_y(x, y) = −4x + 4y, luego\\ \nabla f(x, y) &= f_x(x, y)\bold{i} + f_y(x, y)\bold{j} = (6x − 4y)\bold{i} + (−4x + 4y)\bold{j}\\ \end{aligned}

A continuación, evaluamos el gradiente en (−2,3)(−2, 3):

∇f(−2,3)=(6(−2)−4(3))i+(−4(−2)+4(3))j=−24i+20j\nabla f(−2, 3) = \big(6(−2) − 4(3)\big)\bold{i} + \big(−4(−2) + 4(3)\big)\bold{j} = −24\bold{i} + 20\bold{j}

Necesitamos encontrar un vector unitario que apunte en la misma dirección que ∇f(−2,3)\nabla f (−2, 3), por lo que el siguiente paso es dividir ∇f(−2,3)\nabla f (−2, 3) por su magnitud, que es (−24)2+202=976=461\sqrt{(-24)^2+20^2} = \sqrt{976} =4\sqrt{61}. Por lo tanto

∇f(−2,3)∣∣∇f(−2,3)∣∣=−24461i+20461j=−66161i+56161j\frac{\nabla f(−2, 3)}{||\nabla f(−2, 3)||} = \frac{-24}{4\sqrt{61}}\bold{i} + \frac{20}{4\sqrt{61}}\bold{j} = \frac{-6\sqrt{61}}{61}\bold{i} + \frac{5\sqrt{61}}{61}\bold{j}

Este es el vector unitario que apunta en la misma dirección que ∇f(−2,3)\nabla f (−2, 3). Para encontrar el ángulo correspondiente a este vector unitario, resolvemos las ecuaciones

cosθ=−66161 y senθ=56161cos\theta = \frac{-6\sqrt{61}}{61}\text{ y }sen\theta=\frac{5\sqrt{61}}{61}

para \thtea. Como el coseno es negativo y el seno es positivo, el ángulo debe estar en el segundo cuadrante. Por lo tanto, θ=π−arcsen((561/61))≈2.45rad\theta = \pi - arcsen\big((5\sqrt{61}/61)\big) \approx 2.45\text{} rad.

El valor máximo de la derivada direccional en (−2,3)(−2, 3) es ∣∣∇f(−2,3)∣∣=461|| \nabla f (−2, 3) || = 4\sqrt{61} (ver la siguiente figura).

Figura 4.42. El valor máximo de la derivada direccional en (−2,3)(−2, 3) está en la dirección del gradiente.