Solución

Primero, debemos calcular las derivadas parciales de ff:

fx=2x−yf_x = 2x − y fy=−x+6yf_y = −x + 6y

Luego usamos la ecuación 4.37 con θ=arccos(3/5)\theta = arccos (3/5):

Duf(x,y)=fx(x,y)cosθ+fy(x,y)senθ=(2x−y)35+(−x+6y)45=6x5−3y5−4x5+24y5=2x+21y5\begin{aligned} D_\bold{u} f(x, y) &= f_x(x, y)cos \theta + f_y(x, y)sen \theta\\ &= (2x − y)\frac35 + (−x + 6y)\frac45\\ &= \frac{6x}{5}−\frac{3y}{5}−\frac{4x}{5}+\frac{24y}{5}\\ &= \frac{2x + 21y}{5} \end{aligned}

Para calcular Duf(−1,2)D_\bold{u} f (−1, 2), dejemos que x=−1x = −1 e y=2y = 2:

Duf(−1,2)=2(−1)+21(2)5=405=8D_\bold{u} f (−1, 2) = \frac{2(−1) + 21(2)}{5} = \frac{40}{5} = 8

Esta es la misma respuesta obtenida en el ejemplo anterior.