Solución

  1. Establece f(x,y)=3x2−2xy+y2+4x−6y−11=0f(x, y) = 3x^2 - 2xy + y^2 + 4x - 6y - 11 = 0, luego calcula fxf_x y fyf_y:

    fx=6x−2y+4,      fy=−2x+2y−6f_x = 6x-2y+4,\;\;\;f_y = -2x+2y-6 La derivada está dada por
    dydx=−∂f/∂x∂f/∂y=−6x−2y+4−2x+2y−6=3x−y+2x−y+3\frac{dy}{dx} = -\frac{\partial f/\partial x}{\partial f/\partial y}=-\frac{6x-2y+4}{-2x+2y-6} = \frac{3x − y + 2}{x − y + 3} La pendiente de la línea tangente en el punto (2,1)(2, 1) viene dada por dydx∣(x,y)=(2,1)=3(2)−1+22−1+3=74\frac{dy}{dx}\bigg|_{(x, y)=(2, 1)} = \frac{3(2) − 1 + 2}{2 − 1 + 3} = \frac74 Para encontrar la ecuación de la línea tangente, usamos la forma punto-pendiente (Figura 4.38): y−y0=m(x−x0)y−1=74(x−2)y=74−72+1y=74x−52\begin{aligned} y-y_0 &= m(x-x_0)\\ y-1 &= \frac74 (x-2)\\ y &= \frac74 - \frac72 + 1 y &= \frac74 x - \frac52 \end{aligned}

    Figura 4.38. Gráfica de la elipse girada definida por 3x2−2xy+y2+4x−6y−11=03x^2 - 2xy + y^2 + 4x - 6y - 11 = 0

  2. Tenemos f(x,y,z)=x2ey−yzexf (x, y, z) = x^2e^y - yze^x. Por lo tanto,
    ∂f∂x=2xey−yzex∂f∂y=x2ey−zex∂f∂z=−ye2\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x} &= 2xe^y − yze^x\\ \frac{\partial f}{\partial y} &= x^2e^y − ze^x\\ \frac{\partial f}{\partial z} &= -ye^2 \end{aligned} Usando la ecuación 4.35
    ∂z∂x=−∂f/∂x∂f/∂y=−2xey−yzex−yex=2xey−yzexyex\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x} &= -\frac{\partial f/\partial x}{\partial f/\partial y}\\ &= -\frac{2xe^y − yze^x}{-ye^x}\\ &= \frac{2xe^y − yze^x}{ye^x} \end{aligned} y ∂z∂y=−∂f/∂y∂f/∂z=−x2ey−zex−yex=x2ey−zexyex\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial y} &= -\frac{\partial f/\partial y}{\partial f/\partial z}\\ &= -\frac{x^2e^y − ze^x}{-ye^x}\\ &= \frac{x^2e^y − ze^x}{ye^x} \end{aligned}