Solución
Las fórmulas para ∂u∂w y ∂v∂w son
∂u∂w=∂x∂w∂u∂x+∂y∂w∂u∂y+∂z∂w∂u∂z
∂v∂w=∂x∂w∂v∂x+∂y∂w∂v∂y+∂z∂w∂v∂z
Por lo tanto, hay nueve derivadas parciales diferentes que deben calcularse y sustituirse. Necesitamos calcular cada una de ellas:
∂x∂w=6x−2y | ∂y∂w=−2x | ∂z∂w=8z |
∂u∂x=eusenv | ∂u∂y=eucosv | ∂u∂z=eu |
∂v∂x=eucosv | ∂v∂y=−eusenv | ∂v∂z=0 |
Ahora, sustituimos cada una de ellas en la primera fórmula para calcular ∂u∂w:
∂u∂w=∂x∂w⋅∂u∂x+∂y∂w⋅∂u∂y+∂z∂w⋅∂u∂z=(6x−2y)eusenv−2xeucosv+8zeu
entonces sustituye x(u,v)=eusenv, y(u,v)=eucosv, y z(u,v)=eu en esta ecuación:
∂u∂w=(6x−2y)eusenv−2xeucosv+8zeu=(6eusenv−2eucosv)eusenv−2(eusenv)eucosv+8e2u=6e2usen2v−4e2usenvcosv+8e2u=2e2u(3sen2v−2sinvcosv+4)
A continuación, calculamos ∂v∂w:
∂v∂w=∂x∂w∂v∂x+∂y∂w∂v∂y+∂z∂w∂v∂z=(6x−2y)eucosv−2x(−eusenv)+8z(0)
entonces sustituimos x(u,v)=eusenv, y(u,v)=eucosv, y z(u,v)=eu en esta ecuación:
∂v∂w=(6x−2y)eucosv−2x(−eusenv)=(6eusenv−2eucosv)eucosv+2(eusenv)(eusenv)=2e2usen2v+6e2usenvcosv−2e2ucos2v=2e2u(sen2v+senvcosv−cos2v)