Cálculo de la recta tangente

Primero encuentra la pendiente de la línea tangente usando la ecuación, lo que significa calcular x(t)x'(t) e y(t)y'(t):

x(t)=2t       y(t)=2x'\left( t \right) = 2t\,\,\,\,\,\,\,y'\left( t \right) = 2

Luego sustituye en la ecuación:

dydx=dy/dtdx/dt=y(t)x(t)dydx=22t=1t\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy/dt}}{{dx/dt}} = \frac{{y'\left( t \right)}}{{x'\left( t \right)}} \Rightarrow \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{2}{{2t}} = \frac{1}{t}

Cuando t=2t = 2, dydx=12\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{1}{2}, entonces esta es la pendiente de la línea tangente.

Calculando x(2)x(2) y y(2)y(2), obtenemos:

x(2)=223=1        y(2)=221=3x\left( 2 \right) = {2^2} - 3 = 1\,\,\,\,\,\,\,\,y\left( 2 \right) = 2 \cdot 2 - 1 = 3

que corresponde al punto (1,3)(1, 3) en el gráfico (ver Figura abajo). Ahora usa la forma punto-pendiente de la ecuación de una línea para encontrar la ecuación de la línea tangente: yyo=m(xxo)y - {y_o} = m\left( {x - {x_o}} \right) y3=12(x1)y - 3 = \frac{1}{2}\left( {x - 1} \right) y=12x+52y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}

Figura. Línea tangente a la parábola descrita por las ecuaciones paramétricas dadas cuando t=2t = 2.