Parametrizando una curva

Primero, siempre es posible parametrizar una curva definiendo $x(t) = t$, luego reemplazando $x$ con $t$ en la ecuación de $y(t)$. Esto da la parametrización:

$x\left( t \right){\rm{ = }}t,{\rm{ }}y\left( t \right) = 2{t^2} - 3$.

Como no hay restricción en el dominio en el gráfico original, no hay restricción en los valores de $t$.

Tenemos total libertad en la elección de la segunda parametrización. Por ejemplo, podemos elegir $x\left( t \right) = 3t - 2$. Lo único que debemos comprobar es que no hay restricciones impuestas en $x$; es decir, el rango de $x(t)$ es todos los números reales. Este es el caso para $x (t) = 3t − 2$. Ahora, ya que $y = 2{x^2} - 3$, podemos sustituir $x\left( t \right) = 3t - 2$ por $x$. Esto da

$y\left( t \right) = 2{\left( {3t - 2} \right)^2} - 2$
$y\left( t \right) = 2{\left( {9t} \right.^2} - 12t + 4) - 2$
$y(t) = 18{t^2} - 24t + 8 - 2$
$y(t) = 18{t^2} - 24t + 6$

Por lo tanto, una segunda parametrización de la curva se puede escribir como

$x\left( t \right) = 3t - 2$ e $y(t) = 18{t^2} - 24t + 6$.