Solución

Cuando $\theta = 0,\; r = 2 + 2cos0 = 4$ . Además, a medida que $\theta$ va de $0$ a $2\pi$ , el cardioide se traza exactamente una vez. Por lo tanto, estos son los límites de la integración. Usando $f(\theta) = 2 + 2cos\theta,\; \alpha = 0\; y\; \beta = 2\pi$ , la ecuación 1.10 se convierte en

\begin{aligned} L &= \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{|f(\theta)|^2 + |f'(\theta)|^2}d\theta\\ &= \int_{0}^{2\pi} \sqrt{|2+2cos\theta|^2 + |-2sen\theta|^2}d\theta\\ &= \int_{0}^{2\pi} \sqrt{4+8cos\theta+4cos^2\theta+4sen^2\theta}d\theta\\ &= \int_{0}^{2\pi} \sqrt{4+8cos\theta+4(cos^2\theta+sen^2\theta)}d\theta\\ &= \int_{0}^{2\pi} \sqrt{8+8cos\theta}d\theta\\ &= 2\int_{0}^{2\pi} \sqrt{2+2cos\theta}d\theta \end{aligned}

Luego, usando la identidad $cos(2\alpha) = 2cos^2\alpha − 1$ , suma $1$ a ambos lados y multiplica por $2$ . Esto da $2 + 2cos(2\alpha) = 4cos^2\alpha$ . Sustituyendo $\alpha = \theta/2$ obtenemos $2 + 2cos\theta = 4cos^2(\theta/2)$ , por lo que la integral se convierte en

\begin{aligned} L &= 2\int_{0}^{2\pi} \sqrt{2+2cos\theta}d\theta\\ &= 2\int_{0}^{2\pi} \sqrt{4cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right)}d\theta\\ &= 2\int_{0}^{2\pi} 2\left|cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right|d\theta \end{aligned}

El valor absoluto es necesario porque el coseno es negativo para algunos valores en su dominio. Para resolver este problema, cambia los límites de $0$ a $\pi$ y duplica la respuesta. Esta estrategia funciona porque el coseno es positivo entre $0$ y $\frac{\pi}{2}$ . Así,

\begin{aligned} L &= 4\int_{0}^{2\pi} \left|cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right|d\theta\\ &= 8\int_{0}^{\pi} cos\left(\frac{\theta}{2}\right)d\theta\\ &= 8\left(2sen\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)_{0}^{\pi}\\ &= 16 \end{aligned}