Solución

Supongamos que el punto (r,θ)(r, θ) está en la gráfica de r=3sen(2θ)r = 3sen(2θ).


Apartado i

Para probar la simetría sobre el eje polar, primero intenta reemplazar θθ con −θ−θ. Esto da r=3sen(2(−θ))=−3sen(2θ)r = 3sen(2(−θ)) = - 3sen(2θ). Como esto cambia la ecuación original, esta prueba no se cumple. Sin embargo, volviendo a la ecuación original y reemplazando rr con −r−r y theta;theta; con π−θπ − θ produce

−r=3sen(2(π−θ))−r=3sen(2π−2θ)−r=3sen(−2θ)−r=−3sen(2θ)\begin{aligned} -r &= 3sen(2(π−θ))\\ -r &= 3sen(2π−2θ)\\ -r &= 3sen(-2θ)\\ -r &= -3sen(2θ) \end{aligned}

Multiplicar ambos lados de esta ecuación por −1−1 da r=3sen2θr = 3sen2θ, que es la ecuación original. Esto demuestra que el gráfico es simétrico con respecto al eje polar.


Apartado ii

Para probar la simetría con respecto al polo, primero reemplaza rr con −r−r, que produce −r=3sen(2θ)−r = 3sen(2θ). Multiplicar ambos lados por −1−1 da r=−3sen(2θ)r = −3sen(2θ), que no concuerda con la ecuación original. Por lo tanto, la ecuación no pasa la prueba de esta simetría. Sin embargo, regresar a la ecuación original y reemplazar θθ con θ+πθ + π da

r=3sen(2(θ+π))=3sen(2θ+2π)=3(sen2θcos2π+cos2θsen2π)=3sen(2θ)\begin{aligned} r &= 3sen(2(θ+π))\\ &= 3sen(2θ+2π)\\ &= 3(sen2θcos2π+cos2θsen2π)\\ &= 3sen(2θ) \end{aligned}

Como esto concuerda con la ecuación original, el gráfico es simétrico respecto al polo.


Apartado iii

Para probar la simetría con respecto a la línea vertical θ=π2θ = \frac{π}{2}, primero reemplaza ambos rr con −r−r y θθ con −θ−θ.

−r=3sen(2(−θ))−r=3sen(−2θ)−r=−3sen2θ\begin{aligned} -r &= 3sen(2(-θ))\\ -r &= 3sen(-2θ)\\ -r &= -3sen2θ \end{aligned}

Multiplicar ambos lados de esta ecuación por −1−1 da r=3sen2θr = 3sen2θ, que es la ecuación original. Por lo tanto, el gráfico es simétrico respecto a la línea vertical θ=π2θ = \frac{π}{2}.

Este gráfico tiene simetría con respecto al eje polar, el origen y la línea vertical que atraviesa el polo. Para representar gráficamente la función, tabula los valores de θθ entre 00 y π2\frac{π}{2} y luego refleja el gráfico resultante.

θθrr
0000
π6\frac{π}{6}332≈2.6\frac{3\sqrt{3}}{2}\approx2.6
π4\frac{π}{4}33
π3\frac{π}{3}332≈2.6\frac{3\sqrt{3}}{2}\approx2.6
π2\frac{π}{2}00

Esto da un pétalo de la rosa, como se muestra en el siguiente gráfico.

Figura 1.27 La gráfica de la ecuación entre θ=0θ = 0 y θ=π2θ = \frac{π}{2}.

Al reflejar esta imagen en los otros tres cuadrantes se obtiene el gráfico completo como se muestra.

Figura 1.28 La gráfica completa de la ecuación se llama una rosa de cuatro pétalos.