Solución

Apartado a)

Toma la tangente de ambos lados. Esto da $tanθ = tan(\frac{π}{3}) = \sqrt{3}$. Como $tanθ = y/x$ podemos reemplazar el lado izquierdo de esta ecuación por $y/x$. Esto proporciona $y/x = \sqrt{3}$, que puede reescribirse como $y = x\sqrt{3}$. Esta es la ecuación de una línea recta que pasa por el origen con pendiente $\sqrt{3}$. En general, cualquier ecuación polar de la forma $θ = K$ representa una línea recta a través del polo con una pendiente igual a $tanK$.

Apartado b)

Primero, cuadra ambos lados de la ecuación. Esto da $r^2 = 9$. Luego reemplaza $r^2$ con $x^2 + y^2$. Esto arroja la ecuación $x^2 + y^2 = 9$, que es la ecuación de una circunferencia centrada en el origen con radio $3$. En general, cualquier ecuación polar de la forma $r = k$ donde $k$ es una constante positiva representa una circunferencia de radio $k$ centrada en el origen (Nota: al cuadrar ambos lados de una ecuación es posible introducir nuevos puntos sin querer. Esto siempre debe tenerse en cuenta. Sin embargo, en este caso no introducimos nuevos puntos. Por ejemplo, $(−3, \frac{π}{3})$ es el mismo punto que $(3,\frac{4π}{3})$

Apartado c)

Multiplica ambos lados de la ecuación por $r$. Esto lleva a $r^2 = 6rcosθ − 8rsenθ$. Luego usa las fórmulas

Esto genera

Para poner esta ecuación en forma estándar, primero mueve las variables del lado derecho de la ecuación al lado izquierdo, luego completa el cuadrado.

Esta es la ecuación de una circunferencia con centro en $(3, −4)$ y radio $5$. Observa que la circunferencia pasa por el origen ya que el centro está a 5 unidades de distancia.