Solución

Debido a que la función es un múltiplo de una función seno, es periódica con el período 2π2π, por lo tanto, usa valores para θθ entre 00 y 2π2π. El resultado de los pasos 1–3 aparece en la siguiente tabla. La figura muestra el gráfico basado en esta tabla.

θθr=4senθr=4senθθθr=4senθr=4senθ
0000ππ00
π6\frac{π}{6}227π6\frac{7π}{6}−2-2
π4\frac{π}{4}22≈2.82\sqrt{2}\approx2.85π4\frac{5π}{4}−22≈−2.8-2\sqrt{2}\approx-2.8
π3\frac{π}{3}23≈3.42\sqrt{3}\approx3.44π3\frac{4π}{3}−23≈−3.4-2\sqrt{3}\approx-3.4
π2\frac{π}{2}443π2\frac{3π}{2}44
2π3\frac{2π}{3}23≈3.42\sqrt{3}\approx3.45π3\frac{5π}{3}−23≈−3.4-2\sqrt{3}\approx-3.4
3π4\frac{3π}{4}22≈2.82\sqrt{2}\approx2.87π4\frac{7π}{4}−22≈−2.8-2\sqrt{2}\approx-2.8
5π6\frac{5π}{6}2211π6\frac{11π}{6}−2-2
2π2π00

Figura 1.20 La gráfica de la función r=4senθr = 4senθ es una circunferencia.

Esta es la gráfica de una circunferencia. La ecuación r=4senθr = 4senθ se puede convertir en coordenadas rectangulares multiplicando primero ambos lados por rr. Esto da la ecuación r2=4rsenθr^2 = 4rsenθ. Luego usa r2=x2+y2r^2 = x^2 + y^2 e y=rsenθy = rsenθ. Esto da x2+y2=4yx^2 + y^2 = 4y. Para poner esta ecuación en forma estándar, resta 4y4y de ambos lados de la ecuación y completa el cuadrado:

x2+y2−4y=0x2+(y2−4y)=0x2+(y2−4y+4)=0+4x2+(y−2)2=4\begin{aligned} x^2 + y^2 - 4y &= 0\\ x^2 + (y^2 - 4y) &= 0\\ x^2 + (y^2 - 4y + 4) &= 0 + 4\\ x^2 + (y - 2)^2 &= 4 \end{aligned}