Solución


Apartado a)

Usa x=1x = 1 e y=1y = 1 en la ecuación 1.8

r2=x2+y2=(1)2+(1)2r=2\begin{aligned} r^2 &= x^2+y^2\\ &=(1)^2+(1)^2\\ r &= \sqrt{2} \end{aligned}y tanθ=yx=11=1θ=π4\begin{aligned} tanθ &= \frac{y}{x}\\ &= \frac11 = 1\\ θ &= \frac{π}{4} \end{aligned}

Por lo tanto, este punto se puede representar como (2,π4)(\sqrt{2},\frac{π}{4}) en coordenadas polares.


Apartado b)

Usa x=−3x = −3 e y=4y = 4 en la ecuación 1.8:

r2=x2+y2=(−3)2+(4)2r=5\begin{aligned} r^2 &= x^2+y^2\\ &=(-3)^2+(4)^2\\ r &= 5 \end{aligned}y tanθ=yx=−43θ=−arctan43≈2.21\begin{aligned} tanθ &= \frac{y}{x}\\ &= -\frac43\\ θ &= -arctan\frac{4}{3}\\ &\approx 2.21 \end{aligned}

Por lo tanto, este punto se puede representar como (5,2.21)(5,2.21) en coordenadas polares.


Apartado c)

Usa x=0x = 0 e y=3y = 3 en la ecuación 1.8

r2=x2+y2=(3)2+(0)2=9+0r=3\begin{aligned} r^2 &= x^2+y^2\\ &=(3)^2+(0)^2\\ &=9+0\\ r &= 3 \end{aligned}y tanθ=yx=−30\begin{aligned} tanθ &= \frac{y}{x}\\ &= -\frac30 \end{aligned}

La aplicación directa de la segunda ecuación conduce a la división por cero. Graficar el punto (0,3)(0,3) en el sistema de coordenadas rectangular revela que el punto se encuentra en el eje y positivo. El ángulo entre el eje x positivo y el eje y positivo es π2\fracπ2. Por lo tanto, este punto puede representarse como (3,π2)(3, \fracπ2) en coordenadas polares.


Apartado d)

Usa x=53x=5\sqrt{3} y y=−5y=−5 en la ecuación 1.8

r2=x2+y2=(53)2+(−5)2=75+25r=10\begin{aligned} r^2 &= x^2+y^2\\ &=(5\sqrt{3})^2+(-5)^2\\ &=75+25\\ r &= 10 \end{aligned}y tanθ=yx=−−553=−33θ=−π6\begin{aligned} tanθ &= \frac{y}{x}\\ &= -\frac{-5}{5\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}\\ θ &= -\frac{π}{6} \end{aligned}

Por lo tanto, este punto se puede representar como (10,−π6)(10, -\frac{π}{6}) en coordenadas polares.


Apartado e)

Usa r=3r=3 y θ=π3θ=\fracπ3 en la ecuación 1.7

x=rcosθ=3cos(π3)=3(12)=32\begin{aligned} x &= rcosθ\\ &=3cos(\fracπ3)\\ &=3(\frac12)=\frac32 \end{aligned}y y=rsenθ=3sen(π3)=3(32)=332\begin{aligned} y &= rsenθ\\ &= 3sen(\fracπ3)\\ &= 3(\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{3\sqrt{3}}{2} \end{aligned}

Por lo tanto, este punto se puede representar como (32,332)(\frac32, \frac{3\sqrt{3}}{2}) en coordenadas rectangulares.


Apartado f)

Usa r=2r=2 y θ=3π2θ=\frac{3π}{2} en la ecuación 1.7

x=rcosθ=2cos(3π2)=2(0)=0\begin{aligned} x &= rcosθ\\ &=2cos(\frac{3π}{2})\\ &=2(0)=0 \end{aligned}y y=rsenθ=2sen(3π2)=2(−1)=−2\begin{aligned} y &= rsenθ\\ &= 2sen(\frac{3π}{2})\\ &= 2(-1)=-2 \end{aligned}

Por lo tanto, este punto se puede representar como (0,−2)(0, -2) en coordenadas rectangulares.


Apartado g)

Usa r=6r=6 y θ=−5π6θ=-\frac{5π}{6} en la ecuación 1.7

x=rcosθ=6cos(−5π6)=6(−32)=−3(3)\begin{aligned} x &= rcosθ\\ &=6cos(-\frac{5π}{6})\\ &=6(-\frac{\sqrt{3}}{2})\\ &= -3(\sqrt{3}) \end{aligned}y y=rsenθ=6sen(−5π6)=6(−12)=−3\begin{aligned} y &= rsenθ\\ &= 6sen(-\frac{5π}{6})\\ &= 6(-\frac12)\\ &= -3 \end{aligned}

Por lo tanto, este punto se puede representar como (−3(3),−3)(-3(\sqrt{3}), -3) en coordenadas rectangulares.