Solución

Comenzamos con la curva definida por las ecuaciones.

x(t)=rcost,  y(t)=rsent,  0≤t≤π.x(t) = rcost,\; y(t) = rsent,\; 0\le t \le π.

Esto genera un semicírculo superior de radio rr centrado en el origen como se muestra en el siguiente gráfico.

Figura 1.16 Un semicírculo generado por ecuaciones paramétricas.

S=2π∫aby(t)(x′(t))2+(y′(t))2dt=2π∫0πrsent(−rsent)2+(rcost)2dt=2π∫0πrsentr2sen2t+r2cos2tdt=2π∫0πrsentr2(sen2t+cos2t)dt=2π∫0πr2sentdt=2πr2(−cost∣0π)=2πr2(−cosπ+cos0)=4πr2\begin{aligned} S &= 2π\int_{a}^{b} y(t)\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}dt\\ &= 2π\int_{0}^{π} rsent \sqrt{(-rsent)^2 + (rcost)^2}dt\\ &= 2π\int_{0}^{π} rsent \sqrt{r^2sen^2t + r^2cos^2t}dt\\ &= 2π\int_{0}^{π} rsent \sqrt{r^2(sen^2t+cos^2t)}dt\\ &= 2π\int_{0}^{π} r^2sentdt\\ &= 2πr^2(-cost|_0^π)\\ &= 2πr^2(-cosπ+cos0)\\ &= 4πr^2 \end{aligned}