Solución

Los valores t=0t = 0 a t=πt = π trazan la curva roja en la figura 1.13. Para determinar su longitud, usa la ecuación 1.5:

s=∫t1t2(dxdt)2+(dydt)2dt=∫0π(−3sent)2+(3cost)2dt=∫0π9sen2t+9cos2tdt=∫0π9(sen2t+cos2t)dt=∫0π3dt=3t]0π=3π\begin{aligned} s &= \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt\\ &= \int_{0}^{π} \sqrt{(−3sent)^2+(3cost)^2}dt\\ &= \int_{0}^{π} \sqrt{9sen^2t+9cos^2t}dt\\ &= \int_{0}^{π} \sqrt{9(sen^2t+cos^2t)}dt\\ &= \int_{0}^{π} 3dt = 3t\Big]_0^π = 3π \end{aligned}

Observa que la fórmula para la longitud del arco de un semicírculo es πrπr y el radio de este círculo es 3. Este es un gran ejemplo del uso de cálculo para derivar una fórmula conocida de una cantidad geométrica.


Figura 1.24 La longitud del arco del semicírculo es igual a su radio multiplicado por π.