Solución

Apartado a

Primero usa las leyes de la suma y diferencia para separar los términos:

lim⁡(x,y)→(2,−1)(x2−2xy+3y2−4x+3y−6)=(lim⁡(x,y)→(2,−1)x2)−(lim⁡(x,y)→(2,−1)2xy)+(lim⁡(x,y)→(2,−1)3y2)−(lim⁡(x,y)→(2,−1)4x)+(lim⁡(x,y)→(2,−1)3y)−(lim⁡(x,y)→(2,−1)6)\lim\limits_{(x, y) \to (2, -1)}(x^2−2xy+3y^2−4x+3y−6)\\ = \bigg(\lim\limits_{(x, y) \to (2, -1)} x^2\bigg) - \Bigg(\lim\limits_{(x, y) \to (2, -1)} 2xy\bigg) + \bigg(\lim\limits_{(x, y) \to (2, -1)} 3y^2\bigg) - \bigg(\lim\limits_{(x, y) \to (2, -1)} 4x\bigg)\\ + \bigg(\lim\limits_{(x, y) \to (2, -1)} 3y\bigg) - \bigg(\lim\limits_{(x, y) \to (2, -1)} 6\bigg)

A continuación, usa la ley de múltiple constante en los límites segundo, tercero, cuarto y quinto:

=(lim⁡(x,y)→(2,−1)x)2−2(lim⁡(x,y)→(2,−1)x)(lim⁡(x,y)→(2,−1)y)+3(lim⁡(x,y)→(2,−1)y)2−4(lim⁡(x,y)→(2,−1)x)+3(lim⁡(x,y)→(2,−1)y)−(lim⁡(x,y)→(2,−1)6)= \bigg(\lim\limits_{(x, y) \to (2, -1)} x\bigg)^2 - 2\bigg(\lim\limits_{(x, y) \to (2, -1)} x\bigg)\bigg(\lim\limits_{(x, y) \to (2, -1)} y\bigg) + 3\bigg(\lim\limits_{(x, y) \to (2, -1)} y\bigg)^2\\ -4\bigg(\lim\limits_{(x, y) \to (2, -1)} x\bigg) + 3\bigg(\lim\limits_{(x, y) \to (2, -1)} y\bigg) - \bigg(\lim\limits_{(x, y) \to (2, -1)} 6\bigg)

Por último, use las leyes de identidad en los primeros seis límites y la ley de la constante en el último límite:

lim⁡(x,y)→(2,−1)(x2−2xy+3y2−4x+3y−6)=(2)2−2(2)(−1)+3(−1)2−4(2)+3(−1)−6=−6.\lim\limits_{(x, y) \to (2, -1)}(x^2−2xy + 3y^2−4x + 3y − 6) = (2)^2−2 (2) (- 1) +3 (−1)^2−4 ( 2) +3 (−1) −6 = −6.

Apartado b

Antes de aplicar la ley del cociente, debemos verificar que el límite del denominador sea distinto de cero. Usando la ley de diferencia, la ley de múltiple constante y la ley de identidad,

lim⁡(x,y)→(2,−1)(4x−3y)=lim⁡(x,y)→(2,−1)4x−lim⁡(x,y)→(2,−1)3y=4(lim⁡(x,y)→(2,−1)x)−3(lim⁡(x,y)→(2,−1)y)=4(2)−3(−1)=11\begin{aligned} \lim\limits_{(x, y) \to (2, -1)}(4x-3y) &= \lim\limits_{(x, y) \to (2, -1)}4x - \lim\limits_{(x, y) \to (2, -1)}3y\\ &= 4\bigg(\lim\limits_{(x, y) \to (2, -1)}x\bigg) -3\bigg(\lim\limits_{(x, y) \to (2, -1)}y\bigg)\\ &= 4(2)-3(-1)=11 \end{aligned}

Como el límite del denominador es distinto de cero, se aplica la ley del cociente. Ahora calculamos el límite del numerador usando la ley de diferencia, la ley de múltiple constante y la ley de identidad:

lim⁡(x,y)→(2,−1)(2x+3y)=lim⁡(x,y)→(2,−1)2x+lim⁡(x,y)→(2,−1)3y=2(lim⁡(x,y)→(2,−1)x)+3(lim⁡(x,y)→(2,−1)y)=2(2)+3(−1)=1\begin{aligned} \lim\limits_{(x, y) \to (2, -1)}(2x+3y) &= \lim\limits_{(x, y) \to (2, -1)}2x + \lim\limits_{(x, y) \to (2, -1)}3y\\ &= 2\bigg(\lim\limits_{(x, y) \to (2, -1)}x\bigg) + 3\bigg(\lim\limits_{(x, y) \to (2, -1)}y\bigg)\\ &= 2(2)+3(-1)\\ &=1 \end{aligned}

Por lo tanto, de acuerdo con la ley del cociente tenemos

lim⁡(x,y)→(2,−1)2x+3y4x−3y=lim⁡(x,y)→(2,−1)(2x+3y)lim⁡(x,y)→(2,−1)(4x−3y)=111\lim\limits_{(x, y) \to (2, -1)}\frac{2x+3y}{4x-3y} = \frac{\lim\limits_{(x, y) \to (2, -1)}(2x+3y)}{\lim\limits_{(x, y) \to (2, -1)}(4x-3y)} = \frac{1}{11}