Solución

Apartado a

Para que la función f(x,y,z)=3x−4y+2z9−x2−y2−z2f(x,y,z) = \frac{3x-4y+2z}{\sqrt{9-x^2-y^2-z^2}} esté definida, se deben cumplir dos condiciones:

1. El denominador no puede ser cero.

2. El radicando no puede ser negativos.

Combinado estas condiciones, obtenemos:

9−x2−y2−z2>09-x^2-y^2-z^2 \gt 0

Despejando y multiplicando por -1, obtenemos el dominio:

dominio(f)={(x,y,z)∈R3∣x2+y2+z2<9}dominio(f) = \{(x,y,z)\isin \Reals^3|x^2+y^2+z^2\lt 9\}

que describe una bola de radio 3 centrada en el origen (Nota: la superficie de la pelota no está incluida en este dominio).

Apartado b

Para que la función g(x,y,t)=2t−4x2−y2g(x,y,t) = \frac{\sqrt{2t-4}}{x^2-y^2} esté definida , se deben cumplir dos condiciones:

1. El denominador no puede ser cero.

2. El radicando no puede ser negativos

Como el radicando no puede ser negativo, esto implica 2t−4≥02t − 4\ge 0 y, por lo tanto, t≥2t\ge 2. Dado que el denominador no puede ser cero, x2−y2=0x^2 − y^2 \cancel{=} 0 o x2=y2x^2 \cancel{=} y^2, que puede reescribirse como y=±xy \cancel{=} \pm x, que son las ecuaciones de dos líneas que pasan por el origen. Por lo tanto, el dominio de gg es

dominio(g)={(x,y,t)∣y=±x,t≥2}.dominio(g)= \{(x,y,t)|y\cancel{=}\pm x,t\ge 2\}.