Solución

Primero establece x=−π4x = −\frac{\pi}{4} en la ecuación z=senxcosyz = senxcosy:

z=sen(−π4)cosy=−2cosy2≈−0.7071cosyz=sen\bigg(-\frac{\pi}{4}\bigg)cosy = -\frac{\sqrt{2}cosy}{2} \approx -0.7071cosy

Esto describe un gráfico de coseno en el plano x=−π4x = −\frac{\pi}{4}. Los otros valores de zz aparecen en la siguiente tabla.

cTraza vertical para x=cx=c
−π4-\frac{\pi}{4}z=−2cosy2z= -\frac{\sqrt{2}cosy}{2}
00z=0z= 0
π4\frac{\pi}{4}z=2cosy2z= \frac{\sqrt{2}cosy}{2}

Tabla 4.1 Trazas verticales paralelas al plano xzxz para la función f(x,y)=senxcosyf (x, y) = senxcosy

De manera similar, podemos sustituir los valores de yy en la ecuación f(x,y)f (x, y) para obtener las trazas en el plano yzyz, como se enumera en la siguiente tabla.

dTraza vertical para y=dy=d
−π4-\frac{\pi}{4}z=−2senx2z= -\frac{\sqrt{2}senx}{2}
00z=senxz= senx
π4\frac{\pi}{4}z=2senx2z= \frac{\sqrt{2}senx}{2}

Tabla 4.2 Trazas verticales paralelas al plano yzyz para la función f(x,y)=senxcosyf (x, y) = senxcosy

Las tres trazas en el plano xzxz son funciones de coseno. Las tres trazas en el plano yzyz son funciones sinusoidales. Estas curvas aparecen en las intersecciones de la superficie con los planos x=−π4,x=0,x=π4x = −\frac{\pi}{4}, x = 0, x = \frac{\pi}{4} e y=−π4,y=0,y=π4y = −\frac{\pi}{4}, y = 0, y = \frac{\pi}{4} como se muestra en la siguiente figura.

Figura 4.11 Las trazas verticales de la función f(x,y)f (x, y) son curvas de coseno en los planos xzxz (a) y curvas sinusoidales en los planos yzyz (b).