Solución

Para encontrar la curva de nivel para c=0c = 0, establecemos f(x,y)=0f (x, y) = 0 y resolvemos. Esto da

0=8+8x4y4x2y20 = \sqrt{8 + 8x − 4y − 4x^2 − y^2}

Elevando al cuadrado y multiplicando por 1-1

4x2+y28x+4y8=04x^2+y^2−8x+4y−8=0

Ahora, reorganizamos los términos, juntamos los términos xx e yy, y sumamos 88 a cada lado:

4x28x+y2+4y=8.4x^2−8x+y^2+4y=8.

A continuación, agrupamos los pares de términos que contienen la misma variable entre paréntesis y factorizamos:

4(x22x)+(y2+4y)=84\big(x^2−2x\big)+\big(y^2+4y\big) = 8

Luego completamos el cuadrado en cada par de paréntesis y agregamos el valor correcto al lado derecho:

4(x22x+1)+(y2+4y+4)=8+4(1)+4.4\big(x^2−2x+1\big)+\big(y^2+4y+4\big)=8+4(1)+4.

A continuación, factorizamos el lado izquierdo y simplificamos el lado derecho:

4(x1)2+(y+2)2=16.4(x−1)^2+(y+2)^2=16.

Dividimos ambos lados por 1616

(x1)24+(y+2)216=1(4.1)\frac{(x-1)^2}{4}+ \frac{(y+2)^2}{16} = 1\tag{$4.1$}

Esta ecuación describe una elipse centrada en (1,2)(1, −2). El gráfico de esta elipse aparece a continuación

Figura 4.9 Curva de nivel de la función f(x,y)=8+8x4y4x2y2f (x, y) = \sqrt{8 + 8x − 4y − 4x^2 − y^2} correspondiente a c=0c = 0.

Podemos repetir la misma deducción para valores de cc menores que 44. Entonces, la ecuación 4.1 se convierte en

4(x1)216c2+(y+2)216c2=1\frac{4(x-1)^2}{16-c^2}+ \frac{(y+2)^2}{16-c^2} = 1

para un valor arbitrario de cc. La figura 4.10 muestra un mapa de contorno para f(x,y)f (x, y) utilizando los valores c=0,1,2c = 0,1,2 y 33. Cuando c=4c = 4, la curva de nivel es el punto (1,2)(−1,2).

Figura 4.10 Mapa de contorno para la función f(x,y)=8+8x4y4x2y2f (x, y) = \sqrt{8 + 8x − 4y − 4x^2 − y^2} utilizando los valores c=0,1,2,3c = 0,1,2 , 3 y 44.