Solución

Primero, calculamos f(x0,y0),fx(x0,y0)f(x_0, y_0), f_x(x_0, y_0) y fy(x0,y0)f_y(x_0, y_0) usando x0=2x_0 = 2 e y0=−3y_0 = −3, luego usamos la ecuación 4.26:

f(2,−3)=2(2)2−4(−3)=8+12=20fx(2,−3)=4(2)=8fy(2,−3)=−4.\begin{aligned} f(2, −3) &= 2(2)^2 − 4(−3) = 8 + 12 = 20\\ f_x (2, −3) &= 4(2) = 8\\ f_y (2, −3) &= −4. \end{aligned}

Por lo tanto, m1=8m_1 = 8 y m2=−4m_2 = −4, y la ecuación 4.26 se convierte en

f(x,y)=f(2,−3)+fx(2,−3)(x−2)+fy(2,−3)(y+3)+E(x,y)2x2−4y=20+8(x−2)−4(y+3)+E(x,y)2x2−4y=20+8x−16−4y−12+E(x,y)2x2−4y=8x−4y−8+E(x,y)E(x,y)=2x2−8x+8\begin{aligned} f(x, y) &= f(2, −3) + f_x(2, −3)(x − 2) + f_y(2, −3)(y + 3) + E(x, y)\\ 2x^2 − 4y &= 20 + 8(x − 2) − 4(y + 3) + E(x, y)\\ 2x^2 − 4y &= 20 + 8x − 16 − 4y − 12 + E(x, y)\\ 2x^2 − 4y &= 8x − 4y − 8 + E(x, y)\\ E(x, y) &= 2x^2 -8x + 8 \end{aligned}

A continuación, calculamos el límite

lim⁡(x,y)→(x0,y0)E(x,y)(x−x0)2+(y−y0)2=lim⁡(x,y)→(2,−3)2x2−8x+8(x−2)2+(y+3)2=lim⁡(x,y)→(2,−3)2(x2−4x+4)(x−2)2+(y+3)2=lim⁡(x,y)→(2,−3)2(x−2)2(x−2)2+(y+3)2≤lim⁡(x,y)→(2,−3)2((x−2)2+(y+3)2)(x−2)2+(y+3)2=lim⁡(x,y)→(2,−3)2(x−2)2+(y+3)2=0\begin{aligned} \lim\limits_{(x, y) \to (x_0, y_0)}\frac{E(x, y)}{\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}} &= \lim\limits_{(x, y) \to (2, -3)}\frac{2x^2 -8x + 8}{\sqrt{(x - 2)^2 + (y + 3)^2}}\\ &= \lim\limits_{(x, y) \to (2, -3)}\frac{2(x^2 -4x + 4)}{\sqrt{(x - 2)^2 + (y + 3)^2}}\\ &= \lim\limits_{(x, y) \to (2, -3)}\frac{2(x - 2)^2}{\sqrt{(x - 2)^2 + (y + 3)^2}}\\ &\le \lim\limits_{(x, y) \to (2, -3)}\frac{2\bigg((x - 2)^2 + (y + 3)^2\bigg)}{\sqrt{(x - 2)^2 + (y + 3)^2}}\\ &= \lim\limits_{(x, y) \to (2, -3)}2\sqrt{(x - 2)^2 + (y + 3)^2}\\ &= 0 \end{aligned}

Como E(x,y)≥0E(x, y) \ge 0 para cualquier valor de xx o yy, el límite original debe ser igual a cero. Por lo tanto, f(x,y)=2x2−4yf(x, y) = 2x^2−4y es diferenciable en el punto (2,−3)(2, −3).