Solución

Para aplicar la ecuación 4.25, primero debemos calcular f(x0,y0),fx(x0,y0)f(x_0, y_0), f_x(x_0, y_0), y fy(x0,y0)f_y(x_0, y_0) utilizando x0=2x_0 = 2 y y0=3y_0 = 3:

f(x0,y0)=f(2,3)=41−4(2)2−(3)2=41−16−9=16=4fx(x,y)=−4x41−4x2−y2  entonces  fx(x0,y0)=−4(2)41−4(2)2−(3)2=−2fy(x,y)=−y41−4x2−y2  entonces  fy(x0,y0)=−341−4(2)2−(3)2=−34\begin{aligned} f(x_0, y_0) &= f(2, 3) = \sqrt{41-4(2)^2-(3)^2} = \sqrt{41-16-9} =\sqrt{16} = 4\\ f_x(x, y) &= -\frac{4x}{\sqrt{41-4x^2-y^2}}\;entonces\; f_x(x_0, y_0)= -\frac{4(2)}{\sqrt{41-4(2)^2-(3)^2}} = -2\\ f_y(x, y) &= -\frac{y}{\sqrt{41-4x^2-y^2}}\;entonces\; f_y(x_0, y_0)= - \frac{3}{\sqrt{41-4(2)^2-(3)^2}} = -\frac34 \end{aligned}

Ahora sustituimos estos valores en la ecuación 4.25:

L(x,y)=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(x−x0)+fy(x0,y0)(y−y0)=4−2(x−2)−34(y−3)=414−2x−34y\begin{aligned} L(x, y) &= f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0)(x − x_0) + f_y(x_0, y_0)(y − y_0)\\ &= 4 − 2(x − 2) − \frac34 (y − 3)\\ &= \frac{41}{4} − 2x − \frac34 y \end{aligned}

Por último, sustituimos x=2.1x = 2.1 e y=2.9y = 2.9 en L(x,y)L(x, y):

L(2.1,2.9)=414−2(2.1)−34(2.9)=10.25−4.2−2.175=3.875.L(2.1, 2.9) = \frac{41}{4} − 2(2.1) − \frac34 (2.9) = 10.25 − 4.2 − 2.175 = 3.875.

El valor aproximado de f(2.1,2.9)f(2.1, 2.9) a cuatro decimales es

f(2.1,2.9)=41−4(2.1)2−(2.9)2=14.95≈3.8665f(2.1, 2.9) = \sqrt{41-4(2.1)^2 - (2.9)^2} = \sqrt{14.95} \approx 3.8665

que corresponde a un error de aproximación del 0.2%