Solución

Primero calculamos ∂f∂x\frac{\partial f}{\partial x} usando la Ecuación 4.14, luego calculamos las otras dos derivadas parciales manteniendo constantes las variables restantes. Para usar la ecuación para encontrar ∂f∂y\frac{\partial f}{\partial y}, primero necesitamos calcular f(x+h,y,z)f (x + h, y, z):

f(x+h,y,z)=(x+h)2−3(x+h)y+2y2−4(x+h)z+5yz2−12(x+h)+4y−3z=x2+2xh+h2−3xy−3xh+2y2−4xz−4hz+5yz2−12x−12h+4y−3z\begin{aligned} f(x+h,y,z) &= (x+h)^2−3(x+h)y+2y^2−4(x+h)z+5yz^2−12(x+h)+4y−3z\\ &= x^2+2xh+h^2−3xy−3xh+2y^2−4xz−4hz+5yz^2−12x−12h+4y−3z \end{aligned}

y recuerda que f(x,y,z)=x2−3xy+2y2−4zx+5yz2−12x+4y−3zf (x, y, z) = x^2−3xy + 2y^2−4zx + 5yz^2−12x + 4y − 3z. A continuación, sustituimos estas dos expresiones en la ecuación:

∂f∂x=lim⁡h→0[x2+2xh+h2−3xy−3hy+2y2−4xz−4hz+5yz2−12x−12h+4y−3zh−x2−3xy+2y2−4xz+5yz2−12x+4y−3zh]=lim⁡h→0[2xh+h2−3hy−4hz−12hh]=lim⁡h→0h(2x+h−3y−4z−12)h=lim⁡h→0(2x+h−3y−4z−12)=2x−3y−4z−12\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x} &= \lim\limits_{h \to 0}\bigg[\frac{x^2+2xh+h^2−3xy−3hy+2y^2−4xz−4hz+5yz^2−12x−12h+4y−3z}{h}\\ & - \frac{x^2−3xy+2y^2−4xz+5yz^2−12x+4y−3z}{h}\bigg]\\ &= \lim\limits_{h \to 0}\bigg[\frac{2xh+h^2−3hy−4hz−12h}{h}\bigg]\\ &= \lim\limits_{h \to 0}\frac{h(2x+h−3y−4z−12)}{h}\\ &= \lim\limits_{h \to 0}(2x+h−3y−4z−12)\\ &= 2x-3y-4z-12 \end{aligned}

Luego encontramos ∂f∂y\frac{\partial f}{\partial y} manteniendo constante xx y zz. Por lo tanto, cualquier término que no incluya la variable yy es constante, y su derivada es cero. Podemos aplicar las reglas de suma, diferencia y potencia para funciones de una variable:

∂∂y[x2−3xy+2y2−4xz+5yz2−12x+4y−3]=∂∂y[x2]−∂∂y[3xy]+∂∂y[2y2]−∂∂y[4xz]+∂∂y[5yz2]−∂∂y[12x]+∂∂y[4y]−∂∂y[3]=0−3x+4y−0+5z2−0+4−0=−3x+4y+5z2+4\begin{aligned} &\frac{\partial }{\partial y}\big[x^2−3xy+2y^2−4xz+5yz^2−12x+4y−3\big]\\ &= \frac{\partial }{\partial y}\big[x^2\big] - \frac{\partial }{\partial y}\big[3xy\big] + \frac{\partial }{\partial y}\big[2y^2\big] - \frac{\partial }{\partial y}\big[4xz\big] + \frac{\partial }{\partial y}\big[5yz^2\big] - \frac{\partial }{\partial y}\big[12x\big] + \frac{\partial }{\partial y}\big[4y\big] - \frac{\partial }{\partial y}\big[3\big]\\ &= 0−3x+4y−0+5z^2−0+4−0\\ &= -3x+4y+5z^2+4 \end{aligned}

Para calcular∂f∂y\frac{\partial f}{\partial y}, mantenemos constantes xx e yy y aplicamos las reglas de suma, diferencia y potencia para las funciones de una variable:

∂∂z[x2−3xy+2y2−4xz+5yz2−12x+4y−3z]]=∂∂z[x2]−∂∂z[3xy]+∂∂z[2y2]−∂∂z[4yz]+∂∂z[5yz2]−∂∂z[12x]+∂∂z[4y]−∂∂z[3z]=0−0+0−4x+10yz−0+0−3=−4x+10yz\begin{aligned} &\frac{\partial }{\partial z}\big[x^2−3xy+2y^2−4xz+5yz^2−12x+4y−3z]\big]\\ &= \frac{\partial}{\partial z}\big[x^2 \big] - \frac{\partial}{\partial z}\big[3xy\big] + \frac{\partial}{\partial z}\big[2y^2 \big] - \frac{\partial}{\partial z}\big[4yz\big] + \frac{\partial}{\partial z}\big[5yz^2 \big] - \frac{\partial}{\partial z}\big[12x\big] + \frac{\partial}{\partial z}\big[4y\big] - \frac{\partial}{\partial z}\big[3z\big]\\ &= 0−0+0−4x+10yz−0+0−3\\ &= -4x+10yz \end{aligned}