Solución

El siguiente gráfico representa un mapa de contorno para la función g(x,y)=9−x2−y2g (x, y) = \sqrt{9 − x^2 − y^2 }

Figura 4.22 Mapa de contorno para la función g(x,y)=9−x2−y2g (x, y) = \sqrt{9 − x^2 − y^2 }, usando c=0,1,2c = 0,1,2 y 33 (c=3c = 3 corresponde al origen).

El círculo interno en el mapa de contorno corresponde a c=2c = 2 y el siguiente círculo corresponde a c=1c = 1.

El primer círculo viene dado por la ecuación 2=9−x2−y22 = \sqrt{9 − x^2 − y^2 }; el segundo círculo viene dado por la ecuación 1=9−x2−y21 = \sqrt{9 − x^2 − y^2 }. La primera ecuación se simplifica a x2+y2=5x^2 + y^2 = 5 y la segunda ecuación se simplifica a x2+y2=8x^2 + y^2 = 8.

La intersección xx del primer círculo es (5,0)(\sqrt{5}, 0) y la intersección xx del segundo círculo es (22,0)(2\sqrt{2}, 0). Podemos estimar el valor de ∂g/∂x\partial g / \partial x evaluado en el punto (5,0)(\sqrt{5}, 0) usando la fórmula de la pendiente:

∂g/∂x∣(x,y)=(5,0)≈g(5,0)−g(22,0)5−22=2−15−22=15−22≈−1.688\partial g / \partial x \Bigg|_{(x,y)=(\sqrt{5},0)} \approx \frac{g(\sqrt{5},0)−g(2\sqrt{2},0)}{\sqrt{5}-2\sqrt{2}}= \frac{2-1}{\sqrt{5}-2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{5}-2\sqrt{2}} \approx -1.688

Para calcular el valor exacto de ∂g/∂x\partial g /\partial x evaluado en el punto (5,0)(\sqrt{5}, 0), comenzamos por encontrar ∂g/∂x\partial g /\partial x usando la regla de la cadena. Primero, reescribimos la función como g(x,y)=9−x2−y2=(9−x2−y2)1/2g (x, y) = \sqrt{9 − x^2 − y^2} = (9 − x^2 − y^2)^{1/2} y luego diferenciamos con respecto a xx haciendo yy constante:

∂g/∂x=12(9−x2−y2)−1/2(−2x)=−x9−x2−y2\partial g /\partial x = \frac{1}{2}\bigg(9 − x^2 − y^2\bigg)^{-1/2}(-2x) = -\frac{x}{\sqrt{9 − x^2 − y^2 }}

A continuación, evaluamos esta expresión usando x=5x = \sqrt{5} e y=0y = 0:

∂g/∂x∣(x,y)=(5,0)=−59−(5)2−(0)2=−54=−52≈−1.118\partial g / \partial x \Bigg|_{(x,y)=(\sqrt{5},0)} =-\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{9-(\sqrt{5})^2-(0)^2}} = -\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{4}} = -\frac{\sqrt{5}}{2} \approx -1.118

La estimación de la derivada parcial corresponde a la pendiente de la línea secante que pasa por los puntos (5,0,g(5,0))(\sqrt{5}, 0, g (\sqrt{5}, 0)) y (22,0,g(22,0))(2\sqrt{2}, 0, g (2\sqrt{2}, 0) ). Representa una aproximación a la pendiente de la línea tangente a la superficie a través del punto (5,0,g(5,0))(\sqrt{5}, 0, g (\sqrt{5}, 0)), que es paralelo al eje xx.