Solución

Antes de que podamos aplicar la ley del cociente, debemos verificar que el límite del denominador sea distinto de cero. Usando la ley de diferencia, la ley de identidad y la ley de la constante,

lim⁡(x,y,z)→(4,1,−3)(2x+5y−z)=2(lim⁡(x,y,z)→(4,1,−3)x)+5(lim⁡(x,y,z)→(4,1,−3)y)−(lim⁡(x,y,z)→(4,1,−3)z)=2(4)+5(1)−(−3=16\begin{aligned} \lim\limits_{(x,y,z)\to (4,1,-3)}(2x+5y-z) &= 2\bigg(\lim\limits_{(x,y,z)\to (4,1,-3)}x\bigg)+5\bigg(\lim\limits_{(x,y,z)\to (4,1,-3)}y\bigg)-\bigg(\lim\limits_{(x,y,z)\to (4,1,-3)}z\bigg)\\ &= 2(4)+5(1)−(−3\\ &= 16 \end{aligned}

Como esto no es cero, a continuación encontramos el límite del numerador. Usando la ley del producto, la ley de diferencia, la ley de múltiple constante y la ley de identidad,

lim⁡(x,y,z)→(4,1,−3)(x2y−3z)=(lim⁡(x,y,z)→(4,1,−3)x)2(lim⁡(x,y,z)→(4,1,−3)y)−3(lim⁡(x,y,z)→(4,1,−3)z)=(42)(1)−3(−3)=16+9=25\begin{aligned} \lim\limits_{(x,y,z)\to (4,1,-3)}(x^2y-3z) &= \bigg(\lim\limits_{(x,y,z)\to (4,1,-3)}x\bigg)^2\bigg(\lim\limits_{(x,y,z)\to (4,1,-3)}y\bigg)-3\bigg(\lim\limits_{(x,y,z)\to (4,1,-3)}z\bigg)\\ &= (4^2)(1)−3(−3)\\ &= 16+9\\ &=25 \end{aligned}

Por último, aplicando la ley del cociente:

lim⁡(x,y,z)→(4,1,−3)x2y−3z2x+5y−z=lim⁡(x,y,z)→(4,1,−3)(x2y−3z)lim⁡(x,y,z)→(4,1,−3)(2x+5y−z)=2516\begin{aligned} \lim\limits_{(x,y,z)\to (4,1,-3)}\frac{x^2y-3z}{2x+5y-z} &= \frac{\lim\limits_{(x,y,z)\to (4,1,-3)}(x^2y-3z)}{\lim\limits_{(x,y,z)\to (4,1,-3)}(2x+5y-z)}\\ &=\frac{25}{16} \end{aligned}