Solución

Hay tres condiciones que deben cumplirse, según la definición de continuidad. En este ejemplo, a=5a = 5 y b=−3b = −3.

1. f(a,b)f (a, b) existe.

Esto es cierto porque el dominio de la función ff consiste en aquellos pares ordenados para los cuales el denominador es distinto de cero (es decir, $x + y + 1 \cancle{=} 0$). El punto (5,−3)(5, −3) satisface esta condición. Además,

f(a,b)=f(5,−3)=3(5)+2(−3)5+(−3)+1=15−62+1=3f(a,b)=f(5,−3)=\frac{3(5)+2(−3)}{5+(−3)+1}=\frac{15−6}{2+1}=3

2. lim⁡(x,y)→(a,b)f(x,y)\lim\limits_{(x,y)\to (a,b)}f(x,y) existe.

Esto también es cierto:

lim⁡(x,y)→(a,b)f(x,y)=lim⁡(x,y)→(5,−3)3x+2yx+y+1=lim⁡(x,y)→(5,−3)(3x+2y)lim⁡(x,y)→(5,−3)(x+y+1)=15−65−3+1=3\begin{aligned} \lim\limits_{(x,y)\to (a,b)}f(x,y) &= \lim\limits_{(x,y)\to (5,-3)}\frac{3x + 2y}{x + y + 1}\\ &= \frac{\lim\limits_{(x,y)\to (5,-3)}(3x + 2y)}{\lim\limits_{(x,y)\to (5,-3)}(x + y + 1)}\\ &= \frac{15-6}{5-3+1}\\ &= 3 \end{aligned}

3. lim⁡(x,y)→(a,b)f(x,y)=f(a,b)\lim\limits_{(x,y)\to (a,b)}f(x,y) = f(a,b).

Esto es cierto porque acabamos de demostrar que ambos lados de esta ecuación son iguales a tres.