Solución

El dominio de la función f(x,y)=25−x2−y2f (x, y) = \sqrt{25 − x^2 − y^2} es {(x,y)∈R2∣x2+y2≤25}\{(x, y) \isin \Reals^2|x^2 + y^2\le 25\}, que es un círculo de radio 55 centrado en el origen, junto con su interior como se muestra en el siguiente gráfico.

Figura 4.18 Dominio de la función f(x,y)=25−x2−y2f (x, y) = \sqrt{25 − x^2 − y^2}

Podemos usar las leyes de límites, que se aplican a los límites en la frontera de los dominios, así como a los puntos interiores:

lim⁡(x,y)→(4,3)25−x2−y2=lim⁡(x,y)→(4,3)(25−x2−y2)=lim⁡(x,y)→(4,3)25−lim⁡(x,y)→(4,3)x2−lim⁡(x,y)→(4,3)y2=25−42−33=0\begin{aligned} \lim\limits_{(x,y) \to (4,3)}\sqrt{25-x^2-y^2} &= \sqrt{\lim\limits_{(x,y) \to (4,3)}(25-x^2-y^2)}\\ &= \sqrt{\lim\limits_{(x,y) \to (4,3)}25 - \lim\limits_{(x,y) \to (4,3)}x^2 - \lim\limits_{(x,y) \to (4,3)}y^2}\\ &= \sqrt{25-4^2-3^3}\\ &= 0 \end{aligned}

Observa la siguiente figura:

Figura 4.19 Gráfica de la función f(x,y)=25−x2−y2f (x, y) = \sqrt{25 − x^2 − y^2}.