Solución

Usamos la diferenciación de funciones con valores vectoriales y lo que sabemos sobre las derivadas de funciones de una variable.

Apartado a

El primer componente de r(t)=(6t+8)i+(4t2+2t−3)j\bold{r}(t) = (6t + 8)\bold{i} + (4t^2 + 2t − 3)\bold{j} es f(t)=6t+8f(t) = 6t + 8. El segundo componente es g(t)=4t2+2t−3g(t) = 4t^2 + 2t − 3.

Tenemos f′(t)=6f'(t) = 6 y g′(t)=8t+2g'(t) = 8t + 2, entonces el teorema da r′(t)=6i+(8t+2)j\bold{r'}(t) = 6\bold{i} + (8t + 2)\bold{j}

Apartado b

El primer componente es f(t)=3costf(t) = 3cost y el segundo componente es g(t)=4sentg(t) = 4sent.

Tenemos f′(t)=−3sentf'(t) = - 3sent y g′(t)=4costg'(t) = 4cost, entonces obtenemos r′(t)=−3senti+4costj\bold{r'}(t) = - 3sent\bold{i} + 4cost\bold{j}

Apartado c

El primer componente de r(t)=etsenti+etcostj−e2tk\bold{r}(t) = e^tsent\bold{i} + e^tcost\bold{j} − e^{2t}\bold{k} es f(t)=etsentf(t) = e^tsent, el segundo componente es g(t)=etcostg(t) = e^tcost, y el tercer componente es h(t)=−e2th(t) = - e^{2t}.

Tenemos f′(t)=et(sent+cost)f'(t) = e^t (sent + cost), g′(t)=et(cost−sent)g'(t) = e^t (cost − sent) y h′(t)=−2e2th'(t) = - 2e^{2t}, por lo que el teorema da r′(t)=et(sent+cost)i+et(cost−sent)j−2e2tk\bold{r'}(t) = e^t ( sent + cost)\bold{i} + e^t (cost − sent)\bold{j} − 2e^{2t}\bold{k}