Solución

Apartado a

Primero encontramos la función de longitud de arco usando la Ecuación 3.14:

s(t)=∫at∥r′(u)∥du=∫0t∥⟨−4senu,4cosu⟩∥du=∫0t(−4senu)2+(4cosu)2du=∫0t16sen2u+16cos2udu=∫0t4du=4t\begin{aligned} s(t) &= \int_a^t \|\bold{r'}(u)\|du\\ &= \int_0^t \|\lang −4sen u,4cos u\rang\|du\\ &= \int_0^t \sqrt{(−4senu)^2+(4cosu)^2}du\\ &= \int_0^t \sqrt{16sen^2u+16cos^2u}du\\ &= \int_0^t 4du = 4t \end{aligned}

que da la relación entre la longitud de arco ss y el parámetro tt como s=4ts = 4t; entonces, t=s/4t = s / 4. A continuación, reemplazamos la variable tt en la función original r(t)=4costi+4sentj\bold{r}(t) = 4cost\bold{i} + 4sent\bold{j} con la expresión s/4s/4 para obtener

r(s)=4cos(s4)i+4sen(s4)j\bold{r}(s) = 4cos\bigg(\frac{s}{4}\bigg)\bold{i} + 4sen\bigg(\frac{s}{4}\bigg)\bold{j}

Esta es la parametrización de longitud de arco de r(t)\bold{r} (t). Como la restricción original en tt fue dada por t≥0t\ge 0, la restricción en ss se convierte en s/4≥0s / 4\ge 0, o s≥0s\ge 0.

Apartado b

La función de longitud de arco viene dada por la ecuación 3.14:

s(t)=∫at∥r′(u)∥du=∫3t∥⟨1,2,2⟩∥du=∫3t12+22+22du=∫3t3du=3t−9\begin{aligned} s(t) &= \int_a^t \|\bold{r'}(u)\|du\\ &= \int_3^t \|\lang 1,2,2\rang\|du\\ &= \int_3^t \sqrt{1^2+2^2+2^2}du\\ &= \int_3^t 3du\\ &= 3t-9 \end{aligned}

Por lo tanto, la relación entre la longitud de arco ss y el parámetro tt es s=3t−9s = 3t − 9, entonces t=fracs3+3t = frac{s}{3}+3. Sustituyendo esto en la función original r(t)=⟨t+3,2t−4,2t⟩\bold{r}(t) = \lang t + 3,2t − 4,2t\rang se obtiene

r(s)=⟨(s3+3)+3,2(s3+3)−4,2(s3+3)⟩=⟨s3+6,2s3+2,2s3+6⟩\bold{r}(s)=\bigg\lang\bigg(\frac{s}{3}+3\bigg)+3, 2\bigg(\frac{s}{3}+3\bigg)−4, 2\bigg(\frac{s}{3}+3\bigg)\bigg\rang = \bigg\lang \frac{s}{3}+6,2\frac{s}{3}+2,2\frac{s}{3}+6\bigg\rang

Esta es una parametrización de longitud de arco de r(t)\bold{r}(t). La restricción original en el parámetro tt era t≥3t\ge 3, por lo que la restricción en ss es s/3+3≥3s/3 + 3\ge 3, o s≥0s\ge 0.