Solución

Apartado a

Para calcular cada uno de los valores de la función, sustituya el valor apropiado de $t$ en la función:

\begin{aligned} \bold{r}(0) &= 4cos(0)\bold{i}+3sen(0)\bold{j}\\ &= 4\bold{i}+0\bold{j} = 4\bold{i}\\ \bold{r}\left( \frac{\pi}{2} \right) &= 4cos \left( \frac{\pi}{2} \right) \bold{i} +3sen\left( \frac{\pi}{2} \right) \bold{j}\\ &= 0\bold{i}+3\bold{j}=3\bold{j}\\ \bold{r} \left( \frac{2\pi}{3} \right) &= 4cos \left( \frac{2\pi}{3} \right) \bold{i} +3sen \left( \frac{2\pi}{3} \right) \bold{j}\\ &= 4 \left( −\frac{1}{2} \right) \bold{i}+3 \left( \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \bold{j} = −2\bold{i}+\frac{3\sqrt{3}}{2}\bold{j} \end{aligned}

Para determinar si esta función tiene restricciones de dominio, considera las funciones del componente por separado. La función del primer componente es $f(t) = 4cost$ y la función del segundo componente es $g(t) = 3sent$ . Ninguna de estas funciones tiene una restricción de dominio, por lo que el dominio de $\bold{r}(t) = 4cost\bold{i} + 3sent\bold{j}$ son todos números reales.

Apartado b

Para calcular cada uno de los valores de la función, sustituya el valor apropiado de t en la función:

\begin{aligned} \bold{r}(0) &= 3tan(0)\bold{i}+4sec(0)\bold{j}+5(0)\bold{k}\\ &= 0\bold{i}+4\bold{j}+0\bold{k} = 4\bold{j}\\ \bold{r}\left( \frac{\pi}{2}\right) &= 3tan\left( \frac{\pi}{2}\right) \bold{i} +4sec\left( \frac{\pi}{2}\right) \bold{j}+ 5\left( \frac{\pi}{2}\right) \bold{k}, \text{ que no existe}\\ \bold{r}\left( \frac{2\pi}{3}\right) &= 3tan\left( \frac{2\pi}{3}\right) \bold{i} +4sec\left( \frac{2\pi}{3}\right) \bold{j}+ 5\left( \frac{2\pi}{3}\right) \bold{k}\\ &= 3(−\sqrt{3})\bold{i}+4(−2)\bold{j}+\frac{10\pi}{3}\bold{k}\\ &= −3\sqrt{3}\bold{i}−8\bold{j}+\frac{10\pi}{3}\bold{k} \end{aligned}

Para determinar si esta función tiene restricciones de dominio, considera las funciones del componente por separado. La función del primer componente es $f(t) = 3tan(t)$ , la función del segundo componente es $g(t) = 4sect$ , y la función del tercer componente es $h(t) = 5t$ .

Las dos primeras funciones no están definidas para múltiplos impares de $\frac{\pi}{2}$ , por lo que la función no está definida para múltiplos impares de $\frac{\pi}{2}$ . Por lo tanto, $dom(\bold{r}(t)) = \bigg\{t\bigg|t \cancel{=} \frac{(2n + 1)\pi}{2}\bigg\}$ donde $n$ es cualquier número entero.