Solución

Apartado a

Claramente, una bola de boliche es una esfera, por lo que las coordenadas esféricas probablemente funcionarían mejor aquí. El origen debe estar ubicado en el centro físico de la pelota. No hay una opción obvia de cómo deben orientarse los ejes $x, y$ y $z$. Las bolas de boliche normalmente tienen un bloque de peso en el centro. Una opción posible es alinear el eje $z$ con el eje de simetría del bloque de peso.

Apartado b

Un submarino generalmente se mueve en línea recta. No hay simetría rotacional o esférica que se aplique en esta situación, por lo que las coordenadas rectangulares son una buena opción. El eje $z$ probablemente debería apuntar hacia arriba. Los ejes $x$ e $y$ podrían alinearse para apuntar al este y al norte, respectivamente. El origen debe ser una ubicación física conveniente, como la posición inicial del submarino o la ubicación de un puerto en particular.

Apartado c

Un cono tiene varios tipos de simetría. En coordenadas cilíndricas, un cono puede ser representado por la ecuación $z = kr$, donde $k$ es una constante En coordenadas esféricas, hemos visto que las superficies de la forma $\phi = c$ son semiconos. Por último, en coordenadas rectangulares, los conos elípticos son superficies cuadráticas y se pueden representar mediante ecuaciones de la forma $z^2 = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$. En este caso, podríamos elegir cualquiera de los tres.

Sin embargo, la ecuación para la superficie es más complicada en coordenadas rectangulares que en los otros dos sistemas, por lo que es posible que deseemos evitar esa elección. Además, estamos hablando de un tanque de agua, y la profundidad del agua podría entrar en juego en algún momento de nuestros cálculos, por lo que podría ser bueno tener un componente que represente la altura y la profundidad directamente. Según este razonamiento, las coordenadas cilíndricas podrían ser la mejor opción. Elige el eje $z$ para alinear con el eje del cono. La orientación de los otros dos ejes es arbitraria. El origen debe ser el punto inferior del cono.

Apartado d

Una tubería es un cilindro, por lo que las coordenadas cilíndricas serían la mejor opción. En este caso, sin embargo, probablemente optaríamos por orientar nuestro eje $z$ con el eje central de la tubería. El eje $x$ podría elegirse para apuntar hacia abajo o hacia alguna otra dirección lógica. El origen debe elegirse en función del enunciado del problema. Ten en cuenta que esto pone el eje $z$ en una orientación horizontal, que es un poco diferente de lo que solemos hacer. Puede tener sentido elegir una orientación inusual para los ejes si tiene sentido para el problema.

Apartado e

Una pelota de fútbol tiene simetría rotacional sobre un eje central, por lo que las coordenadas cilíndricas funcionarían mejor. El eje $z$ debe alinearse con el eje de la pelota. El origen podría ser el centro de la pelota o quizás uno de los extremos. La posición del eje $x$ es arbitraria.