Solución

Conversión a esféricas

Comienza convirtiendo de coordenadas rectangulares a esféricas:

ρ2=x2+y2+z2=(−1)2+12+(6)2=8ρ=22\begin{aligned} \rho ^2 &= x^2 + y^2 +z^2 = (-1)^2 + 1^2 + (\sqrt{6})^2 = 8\\ \rho &= 2\sqrt{2} \end{aligned} tanθ=1−1θ=arctan(−1)=3π4\begin{aligned} tan\theta &= \frac{1}{-1}\\ \theta &= arctan(-1) = \frac{3\pi}{4} \end{aligned}

Como (x,y)=(−1,1)(x, y) = (- 1,1), la elección correcta para θ\theta es 3π4\frac{3\pi}{4}.

En realidad, hay dos formas de identificar ϕ\phi. Podemos usar la ecuación ϕ=arccoszx2+y2+z2\phi = arccos \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}. Sin embargo, un enfoque más simple es usar la ecuación z=ρcosϕz = \rho cos\phi. Sabemos que z=6z = \sqrt{6} y ρ=22\rho =2\sqrt{2}, entonces

6=22cosϕ,entonces     cosϕ=622=32\sqrt{6} = 2\sqrt{2}cos\phi, \text{entonces }\;\;cos\phi =\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}

y por lo tanto ϕ=π6\phi = \frac{\pi}{6}.

Las coordenadas esféricas del punto son (22,3π4,π6)(2\sqrt{2}, \frac{3\pi}{4}, \frac{\pi}{6}).

Conversión a cilíndricas

Para encontrar las coordenadas cilíndricas para el punto, solo necesitamos encontrar rr:

r=ρsenϕ=22sen(π6)=2.r=\rho sen\phi = 2\sqrt{2}sen(\frac{\pi}{6})=\sqrt{2}.

Las coordenadas cilíndricas para el punto son (2,3π4,6)(\sqrt{2}, \frac{3\pi}{4},\sqrt{6}).