Solución

Apartado a

Cuando el ángulo θ\theta se mantiene constante mientras rr y zz pueden variar, el resultado es un semiplano (ver la siguiente figura).

Figura 2.94. En coordenadas polares, la ecuación θ=π4\theta=\frac{\pi}{4} describe el rayo que se extiende diagonalmente a través del primer cuadrante. En tres dimensiones, esta misma ecuación describe un semiplano.

Apartado b

Sustituye r2=x2+y2r^2 = x^2 + y^2 en la ecuación r2+z2=9r^2 + z^2 = 9 para expresar la forma rectangular de la ecuación: x2+y2+z2=9x^2 + y^2 + z^2 = 9. Esta ecuación describe una esfera centrada en el origen con radio 33 (ver la siguiente figura).

Figura 2.95. La esfera centrada en el origen con radio 33 puede describirse mediante la ecuación cilíndrica r2+z2=9r^2 + z^2 = 9.

Apartado c

Para describir la superficie definida por la ecuación z=rz = r, ¿es útil examinar trazas paralelas al plano xyxy? Por ejemplo, la traza en el plano z=1z = 1 es el círculo r=1r = 1, la traza en el plano z=3z = 3 es el círculo r=3r = 3, y así sucesivamente. Cada traza es un círculo. A medida que aumenta el valor de zz, el radio del círculo también aumenta. La superficie resultante es un cono (ver la siguiente figura).

Figura 2.96. Las trazas en planos paralelos al plano xyxy son círculos. El radio de los círculos aumenta a medida que aumenta zz.