Solución

Apartado a

Los vectores normales para estos planos son n1=⟨1,2,−1⟩\bold{n}_1 = \lang 1,2, −1\rang y n2=⟨2,4,−2⟩\bold{n}_2 = \lang 2,4, −2\rang. Estos dos vectores son múltiplos escalares entre sí. Los vectores normales son paralelos, por lo que los planos son paralelos.

Apartado b

Los vectores normales para estos planos son n1=⟨2,−3,2⟩\bold{n}_1 = \lang 2, −3,2\rang y n2=⟨6,2,−3⟩\bold{n}_2 = \lang 6,2, −3\rang. Tomando el producto punto de estos vectores, tenemos

n1⋅n2=⟨2,−3,2⟩⋅⟨6,2,−3⟩=2(6)−3(2)+2(−3)=0\bold{n}_1\cdot\bold{n}_2 = \lang 2,−3,2\rang\cdot\lang 6,2,−3\rang = 2(6)−3(2)+2(−3) =0

Los vectores normales son ortogonales, por lo que los planos correspondientes también son ortogonales.

Apartado c

Los vectores normales para estos planos son n1=⟨1,1,1⟩\bold{n}_1 = \lang 1,1,1\rang y n2=⟨1,−3,5⟩\bold{n}_2 = \lang 1, −3,5\rang:

cosθ=∣n1⋅n2∣∥n1∥∥n2∥=∣⟨1,1,1⟩⋅⟨1,−3,5⟩∣12+12+1212+(−3)2+52=3105\begin{aligned} cos\theta &= \frac{|\bold{n}_1\cdot\bold{n}_2|}{\|\bold{n}_1\|\|\bold{n}_2\|}\\ &= \frac{|\lang 1,1,1\rang\cdot\lang 1,−3,5\rang|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}\sqrt{1^2+(-3)^2+5^2}}\\ &= \frac{3}{\sqrt{105}} \end{aligned}

El ángulo entre los dos planos es 1.27 rad, o aproximadamente 73o73^o.