Solución

Ten en cuenta que los dos planos tienen normales no paralelas, por lo que los planos se intersecan. Además, el origen satisface cada ecuación, por lo que sabemos que la línea de intersección pasa a través del origen. Suma las ecuaciones para que podamos eliminar una de las variables, en este caso, yy:

x+y+z=02x−y+z=0————————3x+2z=0\begin{aligned} x+y+z &= 0\\ 2x-y+z &= 0\\ \text{------------------------}\\ 3x \quad + 2z &= 0 \end{aligned}

Esto nos da x=−23zx = −\frac{2}{3}z. Sustituimos este valor en la primera ecuación para expresar yy en términos de zz:

x+y+z=0−23z+y+z=0y+13z=0y=−13z\begin{aligned} x+y+z &= 0\\ -\frac{2}{3}z+y+z &= 0\\ y+\frac{1}{3}z &= 0\\ y &= -\frac{1}{3}z \end{aligned}

Ahora tenemos las dos primeras variables, xx e yy, en términos de la tercera variable, zz.

Definimos zz en términos de tt. Para eliminar la necesidad de fracciones, elegimos definir el parámetro tt como t=−13zt = −\frac{1}{3}z. Entonces, z=−3tz = −3t.

Al sustituir la representación paramétrica de zz en las otras dos ecuaciones, vemos que las ecuaciones paramétricas para la línea de intersección son

x=2t,y=t,z=−3tx = 2t, y = t, z = −3t

Las ecuaciones simétricas para la línea son x2=y=z−3\frac{x}{2} = y = \frac{z}{−3}.