Solución

Las ecuaciones simétricas describen la recta que pasa a través del punto (0,1,−1)(0,1, −1) paralelo al vector v1=⟨1,2,1⟩\bold{v}_1 = \lang 1,2,1\rang (ver la siguiente figura). Usa este punto y el punto dado, (1,4,3)(1,4,3), para identificar un segundo vector paralelo al plano:

v2=⟨1−0,4−1,3−(−1)⟩=⟨1,3,4⟩\bold{v}_2 = \lang 1−0,4−1,3 - (- 1)\rang = \lang 1,3,4\rang

Usa el producto cruz de estos vectores para identificar un vector normal para el plano:

n=v1×v2=∣ijk121134∣=(8−3)i−(4−1)k+(3−2)k=5i−3j+k\begin{aligned} \bold{n} &= \bold{v}_1\times\bold{v}_2\\ &= \begin{vmatrix} \bold{i} & \bold{j} & \bold{k}\\1 & 2 & 1\\1 & 3 & 4\end{vmatrix}\\ &= (8−3)\bold{i}−(4−1)\bold{k}+(3−2)\bold{k}\\ &= 5\bold{i}−3\bold{j}+\bold{k} \end{aligned}

La ecuación escalar para el plano es 5x−3(y−1)+(z+1)=05x − 3 (y − 1) + (z + 1) = 0 5x−3y+z+4=05x − 3y + z + 4 = 0