Solución

Para escribir la ecuación de un plano, debemos encontrar un vector normal al plano. Empezamos identificando dos vectores del plano

PQ→=⟨0−1,2−1,1−(−2)⟩=⟨−1,1,3⟩\overrightarrow {PQ} = \left\langle {0 - 1,2 - 1,1 - \left( { - 2} \right)} \right\rangle = \left\langle { - 1,1,3} \right\rangle QR→=⟨−1−0,−1−2,0−1⟩=⟨−1,−3,−1⟩\overrightarrow {QR} = \left\langle { - 1 - 0, - 1 - 2,0 - 1} \right\rangle = \left\langle { - 1, - 3, - 1} \right\rangle

El producto cruz PQ→ x QR→\overrightarrow {PQ} \,{\text{x}}\,\overrightarrow {QR} es ortogonal a ambos vectores PQ→\overrightarrow {PQ} y QR→\overrightarrow {QR} , por eso es normal al plano que contiene a estos dos dos vectores

n=PQ→xQR→=∣ijk−113−1−3−1∣{\bold{n}} = \overrightarrow {PQ} {\text{x}} \overrightarrow {QR} = {\begin{vmatrix} {\bold{i}} & {\bold{j}} & {\bold{k}} \\ { - 1} & 1 & 3 \\ { - 1} & { - 3} & { - 1} \\ \end{vmatrix} } =(−1+9)i−(1+3)j+(3+1)k = \left( { - 1 + 9} \right){\bf{i}} - \left( {1 + 3} \right){\bf{j}} + \left( {3 + 1} \right){\bf{k}} = 8i−4j+4k = {\mkern 1mu} 8{\bf{i}} - 4{\bf{j}} + 4{\bf{k}}

Así, n=⟨8,−4,4⟩\bold{n} = \left\langle {8, - 4,4} \right\rangle , y podemos elegir cualquiera de los tres puntos dados para escribir la ecuación del plano 8(x−1)−4(y−1)+4(z+2)=0 8\left( {x - 1} \right) - 4\left( {y - 1} \right) + 4\left( {z + 2} \right) = 0 8x−4y+4z=48x - 4y + 4z = 4