Solución

El producto cruz a×b\bold{a}\times\bold{b} es ortogonal a ambos vectores a\bold{a} y b\bold{b}. Podemos calcularlo con un determinante:

a×b=∣ijk52−10−14∣=∣2−1−14∣i−∣5−104∣j+∣520−1∣k=(8−1)i−(20−0)j+(−5−0)k=7i−20j−5k\begin{aligned} \bold{a}\times\bold{b} &= \begin{vmatrix} \bold{i} & \bold{j} & \bold{k}\\ 5 & 2 & -1\\0 & -1 & 4\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 4 \end{vmatrix}\bold{i} - \begin{vmatrix} 5 & -1 \\ 0 & 4 \end{vmatrix}\bold{j} + \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix}\bold{k}\\ &= (8-1)\bold{i}−(20-0)\bold{j}+(-5-0)\bold{k}\\ &= 7\bold{i}-20\bold{j}−5\bold{k} \end{aligned}

Normaliza este vector para encontrar un vector unitario en la misma dirección:

∥a×b∥=(7)2+(−20)2+(−5)2=474\|\bold{a}\times\bold{b}\| =\sqrt{(7)^2+(-20)^2+(-5)^2}=\sqrt{474}

Entonces, ⟨7474,−20474,−5474⟩\bigg\lang \frac{7}{\sqrt{474}}, -\frac{20}{\sqrt{474}}, -\frac{5}{\sqrt{474}}\bigg\rang es un vector unitario ortogonal a los vectores a\bold{a} y b\bold{b}.