Solución

Apartado a

Primero, usa la multiplicación escalar de cada vector, luego resta:

3v−2w=3⟨−2,9,5⟩−2⟨1,−1,0⟩=⟨−6,27,15⟩−⟨2,−2,0⟩=⟨−6−2,27−(−2),15−0⟩=⟨−8,29,15⟩\begin{aligned} 3\bold{v} − 2\bold{w} &= 3\lang −2, 9, 5\rang −2\lang 1, −1, 0\rang\\ &= \lang −6, 27, 15\rang − \lang 2, −2, 0\rang\\ &= \lang −6 − 2, 27 − (−2), 15 − 0\rang\\ &= \lang −8, 29, 15\rang \end{aligned}

Apartado b

Escribe la ecuación para la magnitud del vector, luego usa la multiplicación escalar:

5∥w∥=512+(−1)2+02=525\|\bold{w}\| = 5\sqrt{1^2 + (−1)^2 + 0^2} = 5\sqrt{2}

Apartado c

Primero, usa la multiplicación escalar, luego encuentra la magnitud del nuevo vector. Ten en cuenta que el resultado es el mismo que para la parte b:

∥5w∥=∥⟨5,−5,0⟩∥=52+(−5)2+02=52\|5\bold{w}\| = \|\lang 5, - 5, 0\rang\| = \sqrt{5^2 + (-5)^2 + 0^2} = 5\sqrt{2}

Apartado d

Recuerda que para encontrar un vector unitario en dos dimensiones, dividimos el vector por su magnitud. El procedimiento es el mismo en tres dimensiones:

v∥v∥=1∥v∥⟨−2,9,5⟩=1(−2)2+92+52⟨−2,9,5⟩=1110⟨−2,9,5⟩=⟨−2110,9110,5110⟩\begin{aligned} \frac{\bold{v}}{\|\bold{v}\|} &= \frac{1}{\|\bold{v}\|}\lang −2, 9, 5\rang\\ &= \frac{1}{\sqrt{(-2)^2 + 9^2 + 5^2}}\lang −2, 9, 5\rang\\ &= \frac{1}{\sqrt{110}}\lang −2, 9, 5\rang\\ &= \bigg\lang \frac{-2}{\sqrt{110}}, \frac{9}{\sqrt{110}}, \frac{5}{\sqrt{110}}\bigg\rang \end{aligned}