Análisis matemático para Bachillerato
INTERACTIVO
Análisis matemático para Bachillerato
INTERACTIVO
José Román Galo Sánchez
María José García Cebrian
Red Educativa Digital Descartes, España
Fondo Editorial Pascual Bravo
Medellín
Título de la obra
Análisis matemático para Bachillerato
Autores:
José R. Galo Sánchez
María José García Cebrian
Diseño del libro: Juan Guillermo Rivera Berrío
Código JavaScript para el libro: Joel Espinosa Longi, IMATE, UNAM.
Fórmulas matemáticas: 
Diseño de cubierta: Margarita Patiño Jaramillo
Librería turn.js: Emmanuel García
Herramienta de edición: DescartesJS
Fuente: Amaranth
Fondo Editorial Pascual Bravo
Calle 73 73A-226
PBX: (574) 4480520
Apartado 6564
Medellín, Colombia
www.pascualbravo.edu.co
ISBN: 978-958-52963-7-4
Esta obra está bajo una licencia Creative Commons 4.0 internacional: Reconocimiento-No Comercial-Compartir Igual. Sin obras derivadas.
Todos los objetos interactivos y los contenidos de esta obra colectiva están protegidos por la
Ley de Propiedad Intelectual.
Tabla de contenido
PARTE I: Funciones: Límites y Continuidad1
1. Funciones reales de variable real3
2. Límite de una función en un punto.4
2.1. Idea intuitiva de límite.5
2.2. Definición formal de límite.5
2.3. Límites infinitos y en el infinito6
2.4. Propiedades de los límites8
5.1. Función continua en un punto y en un intervalo18
5.2. Propiedades de las funciones continuas19
5.3. Tipos de discontinuidad20
6. Teoremas en funciones continuas21
6.3. Funciones acotadas. Teorema de Weierstrass22
iii
1.1. El problema de la recta tangente.29
1.2. La derivada de una función en un punto.30
1.3. Derivabilidad y continuidad.31
1.4. Función derivada y derivadas sucesivas.33
1.5. Aproximación lineal y diferencial de una función en un punto39
PARTE III: Aplicaciones de la derivada45
1. Teoremas en funciones derivables.47
1.2. Teorema del valor medio de Lagrange.48
2. Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos.51
2.1. Crecimiento y decrecimiento.51
2.3. Problemas de optimización.53
3. Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión.54
4. Representación gráfica de funciones.56
4.3. Funciones irracionales.60
4.4. Funciones exponenciales.61
iv
4.5. Funciones logarítmicas.62
4.6. Funciones trigonométricas.63
4.7. Representa más funciones.64
1.1. Primitiva, antiderivada o integral indefinida71
1.3. Condiciones iniciales y soluciones particulares73
2.1. Linealidad de la integración, método de descomposición74
2.2. Integrales cuasi inmediatas75
2.3. Sustitución o cambio de variable76
2.5. Integración de funciones racionales80
2.6. Ampliación del método de sustitución o cambio de variable83
3.2. Definición de integral definida86
3.3. Teorema Fundamental del Cálculo88
3.4. Aplicaciones del calculo integral89
v
Prólogo
Esta obra interactiva está dirigida al alumnado que cursa las materias de Matemáticas II o Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II en las correspondientes modalidades del bachillerato de España (16-18 años) y, concretamente, para el bloque de contenidos dedicados al Análisis aunque, obviamente, puede emplearse en estudios equivalentes de otros sistemas educativos.
Nuestro alumnado, durante su proceso de aprendizaje en etapas anteriores, conoce e identifica distintas ramas de las matemáticas como la Aritmética, el Álgebra, la Geometría o la Estadística. Sin embargo, a pesar de haber tomado contacto con algunos conceptos funcionales básicos, se sorprende al saber de la existencia del Análisis, y más aún le lleva a realizar una interpretación errónea originada por la semántica. Por ello, a esta edad llega el momento de conocer una de las ramas más recientes de las Matemáticas, que tiene por objeto el estudio de las funciones, su clasificación y propiedades, el concepto de límite, la continuidad, la derivación de funciones, los métodos de integración y sus diversas aplicaciones en las ciencias de la naturaleza, las ciencias sociales, las ingenierías, las nuevas tecnologías y las distintas ramas del saber.
La obra se compone de cuatro capítulos o partes que abarcan el desarrollo curricular del bloque, a saber, funciones, límites y continuidad, derivadas, aplicaciones de las derivadas e integrales y concluye con un apéndice que contiene una selección de problemas de Análisis propuestos en la Prueba de Evaluación de Bachillerato para el acceso a la Universidad. A su vez, cada capítulo dispone de un módulo final con ejercicios para practicar y consolidar los contenidos tratados y una autoevaluación, como elemento clave que permite al alumnado valorar sus logros y reflexionar sobre sus fortalezas y debilidades.
La interactividad permanente convierte la obra en un auténtico “laboratorio de matemáticas”, permitiendo al alumnado realizar de manera cómoda cuantos experimentos necesite en sus investigaciones, autónomas o dirigidas por el profesorado, anotar los resultados, cotejarlos, conjeturar en base a los mismos o encontrar contraejemplos para, finalmente, rechazar o aceptar que su conjetura se convierta en un descubrimiento, participando, en todo momento, de un aprendizaje activo.
Como docentes, sabemos de la importancia de seleccionar, elaborar, adaptar y utilizar recursos didácticos para facilitar el desarrollo de las actividades formativas, utilizando habitualmente recursos tecnológicos. Además, el profesorado y su alumnado, tienen acceso gratuito a esta obra a través de internet, obra publicada bajo licencia Creative Commons, con la posibilidad de descargar el archivo editable para su adaptación y reutilización en los términos establecidos en la licencia, es decir, una
vii
obra catalogada como recurso educativo abierto. Una obra pensada para cualquier modalidad de enseñanza y que presenta un valor añadido en las circunstancias actuales de semipresencialidad o confinamiento, donde nuestro alumnado, no solo requiere de atención inmediata para saber si su aprendizaje autónomo se produce en la vía correcta, sino que necesita de una retroalimentación in situ que le permita conocer la ejecución técnica o desarrollo de un ejercicio acompañado de su correspondiente planteamiento razonado.
La autora y el autor de la obra son docentes con más de treinta años de experiencia impartiendo estas materias y expertos en el diseño y generación de recursos educativos interactivos con la herramienta de autor Descartes JS.
Para finalizar, no podemos olvidar que la historia de las Matemáticas es un recurso fundamental para conocer y comprender la evolución de los conceptos que deben aprender nuestros alumnos y alumnas. Así, los fundamentos modernos del Análisis Matemático, se establecen en Europa en el s. XVII con la invención o descubrimiento del cálculo diferencial y cálculo integral, precisamente en una época de confinamiento social. Por ello, recomendamos el vídeo titulado “Sobre hombros de gigantes; Newton y Leibnitz”, de la serie Universo Matemático, coordinado y presentado por el catedrático de Matemáticas y gran divulgador, Antonio Pérez Sanz.
José Antonio Salgueiro González
Secretario de Red Educativa Digital Descartes (España)
Profesor de Matemáticas en el IES Bajo Guadalquivir de Lebrija (Sevilla) durante treinta años
viii
ix
Parte I
Funciones. Límites y continuidad
María José García Cebrian
1. Funciones reales de variable real
3
2. Límite de una función en un punto
4
2.2. Definición formal de límite
5
2.3. Límites infinitos y en el infinito
Límites infinitos
6
Límites en el infinito
7
2.4. Propiedades de los límites
8
3. Cálculo de límites
9
10
3.1. Indeterminaciones
11
12
13
14
3.2. Infinitésimos
15
4. Asíntotas
16
17
5. Continuidad
18
5.2. Propiedades de las funciones continuas
19
5.3. Tipos de discontinuidad
20
6. Teoremas en funciones continuas
21
6.2. Propiedad de Darboux
22
23
Ejercicios para practicar
A continuación se presentan más ejercicios para practicar. Puedes elegir en el menú el tipo que prefieras para empezar. De todos ellos se ofrece la solución.
24
Autoevaluación
25
Parte II
Derivadas
José R. Galo Sánchez
1. Derivadas
1.1. El problema de la recta tangente
El Cálculo y con él el concepto de derivada, o viceversa, surgió en el siglo XVII ligado a varios problemas: la determinación de la recta tangente, el estudio de la velocidad y aceleración o relación de cambio, el localizar máximos y mínimos y el cálculo de áreas. Descartes, Barrow, Newton y Leibniz, entre otros gigantes, contribuyeron a precisar la respuesta.
29
1.2. La derivada de una función en un punto
30
31
Apliquemos los conceptos anteriores en algunos ejercicios:
32
1.4. Función derivada y derivadas sucesivas
33
34
35
En base a los resultados anteriores podemos construir la siguiente tabla de derivadas de las funciones elementales y de las funciones compuestas basadas en ellas.
36
37
38
1.5. Aproximación lineal y diferencial de una función en un punto
39
40
Ejercicios para practicar
A continuación se presentan más ejercicios para practicar. Puedes elegir en el menú el tipo que prefieras para empezar. De todos ellos se ofrece la solución.
41
Autoevaluación
42
Parte III
Aplicaciones de la derivada
María José García Cebrian
1. Teoremas en funciones derivables
47
1.2. Teorema del valor medio de Lagrange
48
1.3. Regla de L'Hôpital
49
50
2. Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos
51
2.2. Máximos y mínimos relativos
52
2.3. Problemas de optimización
53
3. Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión.
54
55
4. Representación gráfica de funciones
56
57
4.1. Funciones polinómicas
58
4.2. Funciones racionales
59
4.3. Funciones irracionales
60
4.4. Funciones exponenciales
61
4.5. Funciones logarítmicas
62
4.6. Funciones trigonométricas
63
4.7. Representa más funciones
En este apartado se presentan más ejemplos de gráficas de funciones. Te recomendamos que hagas los correspondientes cálculos y después los compruebes. También puede emplearse la escena para representar otras funciones, para ello basta escribirlas con la notación adecuada en el campo de texto.
64
Ejercicios para practicar
A continuación se presentan más ejercicios para practicar. Puedes elegir en el menú el tipo que prefieras para empezar. De todos ellos se ofrece la solución.
65
Autoevaluación
66
Parte IV
Integrales
José R. Galo Sánchez
1. Integral indefinida
71
1.2. Integrales inmediatas
72
1.3. Condiciones iniciales y soluciones particulares
Si se fija una condición adicional como puede ser que la primitiva buscada pase por un determinado punto (condición inicial), entonces puede obtenerse una solución que se dice particular.
73
2. Métodos de integración
74
2.2. Integrales cuasi inmediatas
75
76
77
2.4. Integración por partes
78
79
2.5. Integración de funciones racionales
80
81
82
2.6. Ampliación del método de sustitución o cambio de variable
83
84
3. Integral definida
3.1. Cálculo de áreas
La medición de terrenos, cálculos de áreas, es un problema clásico y con soluciones que se remontan a las más antiguas civilizaciones. Eudoxo (390 a.C.- 337 a. C.) aborda el cálculo del área delimitada por cualquier curva cerrada mediante el cálculo de áreas de triángulos5, método utilizado por Euclides y sistemáticamente usado por Arquímedes. Es conocido como "método de exhaución" o "método exhaustivo".
O en una relectura, ubicada en el ámbito de las funciones, puede plantearse como suma de áreas de rectángulos.
85
86
Propiedades de la integral definida
87
3.3. Teorema Fundamental del Cálculo
88
3.4. Aplicaciones del cálculo integral
3.4.1. Área delimitada por una función en un intervalo
89
3.4.2. Área delimitada por dos funciones
90
Ejercicios para practicar
A continuación se presentan más ejercicios para practicar. Puedes elegir en el menú el tipo que prefieras para empezar. De todos ellos se ofrece la solución.
91
Autoevaluación
92
Apéndice
María José García Cebrian
Problemas de Selectividad
A continuación se presentan los problemas de Análisis propuestos en la Evaluación de Bachillerato para el acceso a la Universidad del año 2019, en cada distrito universitario de España.
