3.3.1. Primer teorema fundamental del cálculo

Si $f(x)$ es una función continua en $[a, b]$, consideremos la función definida en ese intervalo como: $$F(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt$$ entonces $F(x)$ es diferenciable y $dF(x) = f(x) dx, \space \forall x \in [a, b]$.

Así pues, escribiendo lo anterior en detalle tenemos que: $$ d \int_{a}^{x} f(t) \space dt = f(x) dx \space \text{ o bien } \int_{a}^{x} dF(t) = F(x), $$ es decir, la diferenciación y la integración son operaciones inversas.

3.3.2. Segundo teorema fundamental del cálculo o regla de Barrow

Si $f(x)$ es una función continua en $[a, b]$ y $F(x)$ es una primitiva de $f(x)$, entonces: $$ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a).$$ Este resultado se conoce como la regla de Barrow y suele escribirse $$F(x)\Big]_a^b = F(b)- F(a).$$ Consecuentemente, ahora, podemos comprender por qué pusimos interés en aprender a calcular las primitivas de una función. Y recalquemos que el resultado de aplicar la regla de Barrow es independiente de la primitiva que se elija, ya que si $G(x)$ y $F(x)$ son primitivas de $f(x)$, entonces $G(x) = F(x) + C$ y, por tanto: $$G(x)\Big]_a^b = G(b)- G(a) = F(b) + C - ( F(a) + C ) = F(b) - F(a) = F(x)\Big]_a^b.$$