3.3.1. Primer teorema fundamental del cálculo

Si f(x)f(x) es una función continua en [a,b][a, b], consideremos la función definida en ese intervalo como: F(x)=axf(t)dtF(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt entonces F(x)F(x) es diferenciable y dF(x)=f(x)dx, x[a,b]dF(x) = f(x) dx, \space \forall x \in [a, b].

Así pues, escribiendo lo anterior en detalle tenemos que: daxf(t) dt=f(x)dx  o bien axdF(t)=F(x), d \int_{a}^{x} f(t) \space dt = f(x) dx \space \text{ o bien } \int_{a}^{x} dF(t) = F(x), es decir, la diferenciación y la integración son operaciones inversas.

3.3.2. Segundo teorema fundamental del cálculo o regla de Barrow

Si f(x)f(x) es una función continua en [a,b][a, b] y F(x)F(x) es una primitiva de f(x)f(x), entonces: abf(x)dx=F(b)F(a). \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a). Este resultado se conoce como la regla de Barrow y suele escribirse F(x)]ab=F(b)F(a).F(x)\Big]_a^b = F(b)- F(a). Consecuentemente, ahora, podemos comprender por qué pusimos interés en aprender a calcular las primitivas de una función. Y recalquemos que el resultado de aplicar la regla de Barrow es independiente de la primitiva que se elija, ya que si G(x)G(x) y F(x)F(x) son primitivas de f(x)f(x), entonces G(x)=F(x)+CG(x) = F(x) + C y, por tanto: G(x)]ab=G(b)G(a)=F(b)+C(F(a)+C)=F(b)F(a)=F(x)]ab.G(x)\Big]_a^b = G(b)- G(a) = F(b) + C - ( F(a) + C ) = F(b) - F(a) = F(x)\Big]_a^b.