3.3.1. Primer teorema fundamental del cálculo
Si f(x) es una función continua en [a,b], consideremos la función definida en ese intervalo como: F(x)=∫axf(t)dt entonces F(x) es diferenciable y dF(x)=f(x)dx, ∀x∈[a,b].
Así pues, escribiendo lo anterior en detalle tenemos que: d∫axf(t) dt=f(x)dx o bien ∫axdF(t)=F(x), es decir, la diferenciación y la integración son operaciones inversas.
3.3.2. Segundo teorema fundamental del cálculo o regla de Barrow
Si f(x) es una función continua en [a,b] y F(x) es una primitiva de f(x), entonces: ∫abf(x)dx=F(b)−F(a). Este resultado se conoce como la regla de Barrow y suele escribirse F(x)]ab=F(b)−F(a). Consecuentemente, ahora, podemos comprender por qué pusimos interés en aprender a calcular las primitivas de una función. Y recalquemos que el resultado de aplicar la regla de Barrow es independiente de la primitiva que se elija, ya que si G(x) y F(x) son primitivas de f(x), entonces G(x)=F(x)+C y, por tanto: G(x)]ab=G(b)−G(a)=F(b)+C−(F(a)+C)=F(b)−F(a)=F(x)]ab.