Pero obviamente las sumas anteriores, bien de triángulos o rectángulos, no son más que una aproximación del área de la región considerada. No obstante, gracias al cálculo infinitesimal, haciendo un paso al límite podremos realizar un cálculo exacto.

3.2. Definición de integral definida. La integral de Riemann.

La integral definida de una función $f(x)$ en un intervalo $[a, b]$ se denota $\int_{a}^{b} f(x) \space dx$ y se define así:

$\int_{a}^{b} f(x) \space dx = \lim_{\left\| P \right\| \space \to{\space 0}}\sum_{n=1}^{N} {f(\xi_{n}) (x_{n} - x_{n-1})}$

donde $P$ es una partición de $[a, b]$ formada por $N+1$ puntos: $a = x_{0} \lt x_{1} \lt \cdots \lt x_{N} = b$, cuyo diámetro ($m \acute{a} x |x_{n} - x_{n-1}|$) tiende a cero, y $\xi_{n}$ es un punto en el intervalo $[x_{n-1}, x_n]$.

En la escena puede observarse que $f(\xi_{n}) (x_{n} - x_{n-1})$ se corresponde con el área del $n$-ésimo rectángulo de base el intervalo $[x_{n-1}, x_n]$ y altura $f(\xi_{n})$. La integral definida es la suma de infinitos rectángulos y en el caso de que ésta exista, es decir, que sea un número real entonces diremos que $f(x)$ es integrable Riemann en $[a, b]$. Pero hay que precisar que según la definición de $f(x)$, $f(\xi_{n})$ puede ser positivo, nulo o negativo y consecuentemente la integral definida será un número también positivo, nulo o negativo. Sólo cuando $f(x) \ge 0 \space \forall x \in [a, b]$ dicho valor coincide con el área del trapecio curvilíneo delimitado por $f(x)$, el eje de abscisas y las rectas $x = a$ y $x = b$.