La sustitución o cambio de variable puede realizarse de tres formas:

$ u=g(x) \textrm{,} \quad x=h(u) \textrm{, } \quad \textrm{y} \quad r(x)=s(u) $

• El cambio $u = g(x)$, es el que hemos estado aplicando hasta ahora. En él se elige una función que aparece en el integrando y la renombramos. Para que este cambio funcione, en el integrando tiene que aparecer la diferencial de $u$, es decir, $g'(x) dx$, si no, el cambio no es viable.
• El segundo puede releerse o interpretarse como el primero, pues si $x = h(u)$ y h tiene inversa, entonces $u = h^{-1}(x)$, pero $h$ no tiene por qué tener inversa, y lo que es más importante, esta sustitución siempre la podemos aplicar, mientras que en el primer caso ya hemos señalado que no siempre es posible. Aquí, basta poner en el integrando en lugar de $x$ la función $h(u)$, y sustituir $dx = h'(u) du$, obviamente esperando que la función resultante sea más fácil de integrar.

\[ \int f(x) dx = \int f(h(u)) \space h'(u) \space du \]

• La aplicación del tercer cambio exige mayores restricciones porque la diferenciación en la igualdad $r(x)=s(u)$ ha de permitir pasar de la integral en la variable $x$ a la variable $u$ y ello no siempre será posible y aún siéndolo, lógicamente, hay que llegar a un integrando más fácil de integrar. Para ubicarnos, pongamos un ejemplo inicial calculando $\int \sqrt{e^x+4} \space dx$ donde planteamos el cambio $e^x+4 = u^2$.
  Diferenciando tenemos que $e^x \space dx = 2u \space du$ y de aquí $dx =\frac{2u}{e^x} \space du$. Pero $dx$ ha de expresarse únicamente en función de la nueva variable $u$ y ello no siempre es posible. En este caso sí, pues despejando en el cambio inicial tenemos que $e^x =u^2-4$ y, por tanto, $dx = \frac{2u}{u^2-4} \space du$. Consecuentemente:

\[ \int \sqrt{e^x+4} \space dx = \int \sqrt{u^2} \space \frac{2u}{u^2-4} \space du = 2 \int \frac{u^2}{u^2-4} \space du\]

que es una función racional impropia cuyo denominador tiene raices reales simples ($u=-2$ y $u=2$) y aplicando el método de la sección anterior obtenemos como primitiva:

\[ 2 \int \frac{u^2}{u^2-4} \space du = 2(u+ ln|u-2|+ln|u+2|)+C \]