2.5.2. Integración de fracciones simples

Por la linealidad de la integral, la integración de funciones racionales propias queda reducida a la integración de fracciones simples del tipo4:

∫Ax−rdx=A ln∣x−r∣ \int \frac{A}{x-r} dx = A \space ln |x-r| ∫A(x−r)αdx=A−α+11(x−r)α−1conα>1 \int \frac{A}{(x-r)^\alpha} dx = \frac{A}{-\alpha+1} \frac{1}{(x-r)^{\alpha-1}} \quad \textrm{con} \quad \alpha \gt 1 ∫Mx+Nx2+bx+cdx=∫Mx+N(x−α)2+β2dx=M2ln((x−α)2+β2)+N+Mαβarctg(x−αβ) \int \frac{M x+N}{x^2+b x+ c} dx = \int \frac{M x+N}{(x-\alpha)^2+\beta^2} dx =\frac{M}{2} ln((x-\alpha)^2+\beta^2) + \frac{N+M\alpha}{\beta} arctg(\frac{x-\alpha}{\beta})

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4    Por lo indicado anteriormente no es necesario incluir el caso de raíces complejas múltiples.
      Para raíces complejas simples, es decir, parejas de raíces conjugadas x=α±βix=\alpha \pm \beta i , se tiene que x2+bx+c=(x−α)2+β2x^2+bx+c=(x-\alpha)^2+\beta^2